人教高中数学考点34 平面向量的概念与线性运算（解析版）.docx

考点34 平面向量的概念与线性运算
【命题解读】
平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题
【基础知识回顾】
1. 向量的有关概念
(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的．
(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．
2. 向量的线性运算
(1)向量加法满足交换律a＋b＝b＋a，结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则．
(2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a方向相同；
当λ<0时，λa与a方向相反；
当a＝0时，λa＝0；
当λ＝0时，λa＝0．
(3)实数与向量的运算律：设λ，μ∈R，a，b是向量，则有：
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb．
3. 向量共线定理：
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa．
1、已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④－＋－，其中结果为零向量的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　B
【解析】　由题知结果为零向量的是①④，故选B.
2、设a，b是非零向量，则a＝2b是＝成立的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】　B
【解析】　由a＝2b可知，a，b 方向相同，， 表示 a，b 方向上的单位向量，所以＝成立；反之不成立．故选B.
3、已知＝4e1＋2e2，＝2e1＋te2，若M、P、Q三点共线，则t＝( )
A. 1　 B. 2　 C. 4　 D. －1
【答案】A
【解析】　∵M、P、Q三点共线，则与共线，∴＝λ，即4e1＋2e2＝λ(2e1＋te2)，得解得t＝1. 故选A.
4、（2019秋•如皋市期末）（多选题）在梯形中，，，，分别是，的中点，与交于，设，，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】由题意可得，，故正确；
，故正确；
，故错误；
，故正确．
故选：．
5、（多选题）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
【答案】　ACD
【解析】　若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；
若＝2－，即有－＝－，
即＝，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若＝－－，即＋＋＝0，
则点M是△ABC的重心，故C正确；
如图，＝x＋y，且x＋y＝，
可得2＝2x＋2y，
设＝2，
则M为AN的中点，
则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．
故选ACD.
6、在△ABC中，＝＝，则∠BAC＝_____．
【答案】60°
【解析】　∵＝，∴＝＝，得△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°.
考向一　平面向量的有关概念
例1、（2019年徐州开学初考试）给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是(　　)
A.②③ B.①② C.③④ D.②④
【答案】A
【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，
∥且，方向相同，因此＝.
③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件.
综