人教高中数学课时跟踪检测（三十八） 利用空间向量求空间角 作业.doc

课时跟踪检测（三十八） 利用空间向量求空间角
1．把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则异面直线AD，BC所成的角为(　　)
A．120°　　　　　　　　 B．30°
C．90° D．60°
解析：选D　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0,0)，B(0，，0)，C(0，0，)，D(0，－，0)，∴＝(－，－，0)，＝(0，－，)．
∴||＝2，||＝2，·＝2.
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴异面直线AD，BC所成的角为60°.故选D.
2．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，设棱长为1，
则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，
∴＝(0,1，－1)，
＝.
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(x，y，z)，
则即令x＝1，
∴∴n1＝(1,2,2)．
又平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝.
即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.
3．(多选)(2021·福州质检)已知四边形ABCD为正方形GD⊥平面ABCD，四边形DGEA
与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．DE⊥BF
B．EF与CH所成角为
C．EC⊥平面DBF
D．BF与平面ACFE所成角为
解析：选ABC　由题意得，所得几何体可以补形成一个正方体，如图所示．
以D为原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设AD＝DC＝DG＝2，
则D(0,0,0)，C(0,2,0)，E(2,0,2)，
F(0,2,2)，B(2,2,0)，H(1，2,1)．
A．＝(2,0,2)，＝(－2,0,2)，
∴·＝－4＋0＋4＝0，
∴⊥，∴DE⊥BF，A是正确的．
B．＝(－2,2,0)，＝(1,0,1)．
设EF与CH所成的角为θ，θ∈，
∴cos θ＝＝.
∵θ∈，∴θ＝，B是正确的．
C．＝(－2,2，－2)，＝(2,2,0)，＝(0,2,2)．
设n＝(x，y，z)是平面DBF的一个法向量，
∴即取x＝1，∴n＝(1，－1,1)．
∵＝－2n，∴∥n，∴EC⊥平面DBF，C是正确的．
D．＝(－2,0,2)，由图象易得m＝(1,1,0)是平面ACFE的一个法向量，
设BF与平面ACFE所成的角为θ，θ∈，
∴sin θ＝|cos〈，m〉|＝＝，∴θ＝，D是不正确的．
故选A、B、C.
4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，由于AB＝2，BC＝AA1＝1，所以A1(1,0,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,1)，D1(0,0,1)．所以＝ (－1，2,0)，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)，设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令x＝2