人教考点21双曲线（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）.docx

考点21双曲线（核心考点讲与练）
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a<c时，则集合P为双曲线；
(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；
(3)若a>c时，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图　形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
1.（1）在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
（2）在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．
2.与双曲线几何性质有关问题的解题策略
在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e＞1．
3.圆锥曲线的弦长
（1）圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
（2）圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ ·|y1－y2|．(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
双曲线的定义
一、单选题
1．（2022·广东潮州·二模）若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（       ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义和充分不必要条件的定义可得答案.
【详解】由题意可知，，，，
若，则，或1（舍去），
若，，或13，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
2．（2022·天津河西·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段交双曲线C的右支于点B，，，则双曲线C的离心率为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知及双曲线的定义，可把用a表示，再用勾股定理推出，在中，利用勾股定理建立a，c的关系式即可求出离心率.
【详解】如下图，由题意可知，由双曲线定义可知，
易得，由勾股定理可得，在中，再由勾股定理得，所以.
故选：A.
3．（2022·辽宁沈阳·二模）已知双曲线的两个焦点为、，点M，N在C上，且，，则双曲线C的离心率为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据，，由双曲线对称性可知，直线与交于y轴上一点P，且为等腰直角三角形，可得的坐标，分别求出，再根据双曲线的定义即可得出答案.
【详解】解：因为，，
由双曲线对称性可知，直线与交于y轴上一点P，
且为等腰直角三角形，
所有，
如图，则，，，
所以，，
则，即，
则．
故选：D.
4．（2022·湖南永州·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点在双曲线的右支上，（为双曲线的半焦距），直线与双曲线右支交于另一个点，
，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义，结合直角三角形的相关性质可得解.
【详解】
如图所示，
由，，得，
，
设，
由双曲线定义得，
所以，，，
又，即，解得，
所以，，
又，即，即，
所以离心率，
故