人教考点24 排列与组合（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）.docx

考点24 排列与组合（核心考点讲与练）
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.
(2)C＝＝
＝(n，m∈N+，且m≤n).特别地C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C
1.求解排列应用问题的6种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
　插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题
除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
2.两类有附加条件的组合问题的解法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．　
3.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.
4.解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点
(1)一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．
(2)注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，元素无序是组合问题，元素有序是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．
排列
1.（2021哈六中高三上学期期中考试数学（理））用1，2，3，4，5，6六个数字组成六位数，其中奇数不相邻且1、2必须相邻，则满足要求的六位数共有（ ）个
A. 72 B. 96 C. 120 D. 288
【答案】A
【分析】根据题意，按1和2两个数按“12”的顺序和“21”的顺序捆绑，利用插空法可得答案．
【详解】解：根据题意，1和2必须相邻，将“12”或“21”看成一个整体与4、6全排列，
排好后，要求奇数互不相邻，则有3个空位可选，再将“3”和“5”插入到3个空位中，
有种排法，即有72个符合条件的六位数；
故选：A．
2.（2021湖南省永州市高三上第一次适应性考试）永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为（ ）
A．480 B．240 C．384 D．1440
【答案】A
【分析】利用插空法求解即可.
【详解】第一步，将《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《女书表演》四个节目排列，有种排法；
第二步，将《祁阳小调》、《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有种插法；
所以共有种不同的安排方法.
故选：A
3.（2021新疆喀什地区莎车县一中高三上期中）7个人排成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（　　）
A. 480种 B. 720种 C. 960种 D. 1200种
【答案】C
【分析】甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，根据丙和丁不相邻，把形成的五个空选两个排列丙和丁．得到结果．
【详解】解：由题意知，
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，
与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，
把形成的五个空