人教考向18 同角三角函数的基本关系与诱导公式（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题.doc

考向18 同角三角函数的基本关系与诱导公式
1．（2021·全国高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】
易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
2．（2021·江苏高考真题）已知，且，则的值是_________.
【答案】
【分析】
先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得.
【详解】
，因为，所以，所以，所以，所以.
故答案为：.
1.同角三角函数关系在解题中的应用
(1)利用方程思想，对于sin α，cos α，tan α，由公式sin2α＋cos2α＝1，tan α＝，可以“知一求二”．对于sin α±cos α，sin αcos α，由下面三个关系式(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，可以“知一求二”．
(2)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解．
2.诱导公式及应用
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一名，统一角，同角名少为终了．
(2)学会诱导公式的逆用，如sin α＝sin(π－α)，cos α＝－cos(π－α)等，再如y＝sin＝sin，能将y＝sin中x的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号．
(3)学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍．
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝.
平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．
2．诱导公式
一
二
三
四
五
六
2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos_α
cos α
－cos α
cos α
－cos_α
sin α
－sin α
tan α
tan α
－tan α
－tan_α
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限.
【知识拓展】
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos α.
1．（2021·陕西高三其他模拟（理））设α是第一象限角，满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2020·江苏高三一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟（文））已知角，，若，，则___________.
4．（2021·江苏扬州中学高三其他模拟）已知，那么______．
1．（2021·赤峰二中高三三模（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·福建高三其他模拟）已知，且，则（ ）．
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟（理））若，则（ ）
A． B．
C． D．a
4．（2021·全国高三其他模拟（文））已知为第三象限角，且，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
5．（2021·北京高一其他模拟）（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·广东高三其他模拟）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿，”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的