人教考向34 空间中的垂直关系-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题.doc

考向34 空间中的垂直关系
1．（2011·浙江高考真题（理））下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
B．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
C．如果平面平面，平面平面，，那么平面
D．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
【答案】B
【分析】
对选项A，B，C可通过作图证明，对D，可以运用反证法的思维方式证明正确性.
【详解】
对A，如图，平面平面，，，若，由线面平行的判定定理可得，故A正确；由A可知，B错误；
对C，如图，设，，在内直线外任取一点，作，因为平面平面，所以，所以，作，因为平面平面，所以，所以，又因为，所以平面，故C正确；
对D，若平面内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定，则有平面垂直于平面，与平面不垂直于平面矛盾，所以根据逆否命题可知，如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面，故D正确.
故选：B
2．（2021·山东高考真题）如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，．
（1）求与所成角的余弦值；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
(1)由题意可得 即为SA 与 BC所成的角，根据余弦定理计算即可；
(2)结合面面垂直的性质和线面垂直的性质即可证明.
【详解】
【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质
【解】（1）因为，因此即为与所成的角，在中，，
又在正方形中，因此，
因此与所成角的余弦值是．
（2）因为平面平面，平面平面，在正方形中，，
因此平面，又因为平面，因此．
(1)面面垂直判定的两种方法与一个转化
①两种方法：
(ⅰ)面面垂直的定义；
(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
②一个转化：
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
(2)面面垂直性质的应用
①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
1．直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
2.平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
3.空间角
(1)直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
②范围：.
(2)二面角
①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
③二面角的平面角的范围：[0，π]．
【知识拓展】
1．（2021·河南高三月考（文））设，是两个不重合的平面，，是两条直线，下列命题中，真命题是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
2．（2021·全国高一课时练****如图，在正方形中，E、F分别为、的中点，H是的中点.现沿、、把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
3．（2021·陕西汉中·高三月考（理））如图，在平面四边形中，为的中点，将沿折起，使得，以为球心，为半径的球与三棱锥各面交线的长度和为___________.
4．（2021·四川德阳·（理））在直角三角形中，，是斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则边长的最大值为______.
1．（2021·大名县第一中学高二开学考试）已知直线a，b和平面，下列推论错误的