人教高中数学专题5 圆锥曲线中的斜率问题（解析版）.docx

专题5 圆锥曲线中的斜率问题
一、考情分析
斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：利用斜率求解三点共线问题；与斜率之和或斜率之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题.
二、解题秘籍
(一) 利用斜率求解三点共线问题
利用斜率判断或证明点共线,通常是利用.
【例1】（2023届广东省部分学校高三上学期联考）设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于,两点,且三角形的面积为.
(1)求的值；
(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0,与交于两个不同的点,,关于轴的对称点为,为的右焦点,若,,三点共线,证明：直线经过轴上的一个定点.
【解析】（1）双曲线：的渐近线方程为,
不妨设,
因为三角形的面积为,所以,
所以,又,所以.
（2）双曲线的方程为：,所以右焦点的坐标为,
若直线与轴交于点,故可设直线的方程为,
设,,则,
联立,得,
且,
化简得且,
所以,,
因为直线的斜率存在,所以直线的斜率也存在,
因为,,三点共线,所以,
即,即,
所以,
因为,所以,
所以,
所以,
化简得,所以经过轴上的定点.
【例2】（2022届北京市一六一中学高三上学期期中）已知椭圆的左､右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线.
（1）若椭圆W的左顶点A关于直线的对称点在直线上,求m的值；
（2）过F的直线与椭圆W相交于不同的两点C,D（不与点A,B重合）,直线与直线相交于点M,求证：A,D,M三点共线.
【解析】（1）由题意知,
直线的斜率存在,且斜率为,
设点A关于直线对称的点为,则,
所以线段的中点在直线上,又,,
有,解得或,
所以；
（2）已知,
当直线的斜率不存在时,：x=1,此时,
有,所以直线,当时,,所以,
所以,所以,
即A、D、M三点共线；
当直线的斜率存在时,设直线：,
则,得,
,
设,则,
直线BC的方程为,令,得,
所以直线AD、AM的斜率分别为,
,
上式的分子
,
所以,即A、D、M三点共线.
综上,A、D、M三点共线.
(二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质
1.设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点,
2. 设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点；
3. 设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点；
【例3】（2023届山西省山西大附属中学高三上学期诊断）若点P在直线上,证明直线关于对称,或证明直线平分,可证明.
已知椭圆：的左、右焦点分别为,,点是椭圆的一个顶点,是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点分别作直线,交椭圆于A,两点,设两直线,的斜率分别为,,且,证明：直线过定点．
【解析】（1）由题意点是椭圆的一个顶点,知,
因为是等腰直角三角形,所以,即,
所以椭圆的标准方程为：．
（2）若直线的斜率存在,设其方程为,由题意知．
由,得,
由题意知,设,,
所以,,
因为,所以
,
所以,整理得,
故直线的方程为,即,
所以直线过定点．
若直线的斜率不存在,设其方程为,,．
由题意得,解得,
此时直线的方程为,显然过点．
综上,直线过定点．
【例4】（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研）已知点在双曲线上,直线l交C于 两点,直线 的斜率之和为.
(1)求l的斜率;
(2)若,求的面积.
【解析】（1）将点代入中,得,即,
解得 ,故双曲线方程为；
由题意知直线l的斜率存在,设,设,,
则联立直线与双曲线得：,
需满足,
故,,
,
化简得：,
故,
即 ,即,
由题意可知直线l不过A点,即,
故l的斜率
（2）设直线AP的倾斜角为,由,,
得,（负值舍去）,
由直线 的斜率之和为,可知,即,
则,得,即,
联立,及得,,
将,代入中,得,
故,,
而,,
由,得,
故
.
【例5】(2022届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线的焦点为,其中为的准线上一点,是坐标原点,且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过的动直线与交于两点,问：在轴上是否存在定点,使得轴平分若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）抛物线的焦点为
设,则
因为,
所以,得.
所以抛物线的方程为;
（2）假设在轴上存在定点,使得轴平分.
设动直线的方程为,点,