人教高中数学专题08 函数的周期性(解析版).docx

专题08 函数的周期性
专项突破一 周期函数的定义与求解
1．有下面两个命题：
①若是周期函数，则是周期函数；
②若是周期函数，则是周期函数，
则下列说法中正确的是（       ）．
A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误
【解析】若是周期函数，设周期为，则，
则也是周期函数，故①正确；
若是周期函数，设周期为，则， 不一定成立，
故②错误.故选：B.
2．若函数满足，则可以是（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为，所以函数的周期为.
A：因为，所以，因此函数的周期不可能，本选项不符合题意；
B：因为，所以，因此函数的周期不可能，本选项不符合题意；
C：该函数的最小正周期为：，因此函数的周期不可能，本选项不符合题意；
D：该函数的最小正周期为：，因此本选项符合题意，
故选：D
3．已知定义在上的非常数函数满足：对于每一个实数，都有，则的周期为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由可得，
即对任意成立，
则，即，
由可得对任意成立，
即对任意成立，则，即对任意成立，
则为的一个周期；而取时，满足，
此时不存在小于的周期；故选：C
4．若定义在R上的偶函数f(x)满足且时，，则方程的解有（       ）
A．2个 B．3个
C．4个 D．多于4个
【解析】由可得函数的周期为2，
又函数为偶函数且当，时，，故可作出函数得图象．
方程的解个数等价于与图象的交点，
由图象可得它们有4个交点，故方程的解个数为4.故选：C．
5．设是定义在实数集上的函数，且满足，，则是（       ）
A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数
【解析】因为，，
所以，
所以，故，所以周期为，
因为，所以是奇函数.故选：C.
6．已知函数的最小正周期为3，则函数的最小正周期为______．
【解析】设函数的最小正周期为，则，
∴，即，
∴函数的最小正周期为，又函数的最小正周期为3，∴.
7．函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为__________．
【解析】，，又为奇函数，
，是周期为的周期函数.
8．若定义在上的非零函数，对任意实数，存在常数，使得恒成立，则称是一个“函数”，试写出一个“函数”：__________．
【解析】当时，由得，所以只需写一个周期为1的函数，
所以满足条件的函数可以为.故答案为： (答案不唯一).
专项突破二 利用周期性求函数值(或解析式)
1．已知定义在R上的函数满足，当时，，则（       ）
A． B． C．2 D．1
【解析】由可知，函数的周期为2，当时，，
∴.故选：B
2．已知函数是上的偶函数，若对于，都有.且当时，，则的值为（       ）
A． B． C．1 D．2
【解析】∵函数是上的偶函数，∴，又∵对于都有，
∴，∵当时，，
∴
，故选：C.
3．定义在R上的偶函数满足，且当时，，则(       )
A． B． C． D．
【解析】∵f(x)是R上偶函数，∴f(-x)=f(x)，又∵，∴，
故f(x)的一个周期是2，故．故选：B．
4．已知函数的图象关于原点对称，且，当时，，则（       ）
A．-11 B．-8 C． D．
【解析】因为函数图象关于原点对称，所以，
由知，函数是以4为周期的函数，又当时，，
则.故选：A.
5．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则的值为（       ）．
A． B．0 C．1 D．2
【解析】∵定义在R上的奇函数满足，∴的周期为4，
∴，，∴.
故选：A,
6．已知函数满足：对任意，．当时，，则（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为，则，即，
所以，即，所以，
因为，所以，
所以，故选：C
7．定义在R上的偶函数满足，且，则（       ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】因为定义在R上的偶函数满足，
所以，所以，
所以，所以函数是周期为4的周期函数，
所以．
在中，令，则，解得或-1.
因为，所以.故选：B.
8．已知函数的定义域为R，且满足，当，时，f(x)＝，则f(7)______.
【解析】∵，∴f(x)周期为2，则f(7)＝f(2×3＋1)＝f(1)＝e.
9．已知是以为周期的偶函数，且当时，，则________．
【解析】．
10．已知是定义在上的周期为3的奇函数，且，则___________.
【解析】由题意知：，而，
∴，即，∴，故.