人教高中数学专题08 数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和(解析版).docx

专题08 数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和
◆倒序相加法求和
等差数列的求和公式,其过程正是利用倒序相加的原理.这类题之所以能够利用倒序相加来求和,是因为其自身具备明显的特征,那就是首项与末项相加为定值.一般题中出现(为常数),(为常数)时,可以采用倒序相加的方法进行求和.
【经典例题1】
已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.
【答案】
【解析】
因为，
.
故….①
….②
①+②，得，.
所以数列的通项公式为.
【练****1】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前𝑛项和的方法探求：若，则（       ）
A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
【答案】D
【解析】
，
∵函数
∴，
令，则，
∴，
∴.
故选：D.
【练****2】已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________．
【答案】
【解析】
函数，当时，，
因数列是正项等比数列，且，则，
，同理，
令，
又，
则有，，
所以.
故答案为：
【练****3】已知，求.
【答案】1005.
【解析】
因为，所以，
所以.令，
倒写得.
两式相加得，故.
【练****4】函数对任意,都有.
(I)求的值;
(II)若数列满足,数列是等差数列吗?
【解析】(I)令 ,得.
(II)已知函数对任意,都有,可得
由两式相加可得
故数列是等差数列.
◆数列绝对值求和
(1)对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有
(2)对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 。
【经典例题1】已知是数列的前项和,且.
(1)求;
(2)求数列的前项和.
解析:(1)由,可得,
当时,;
当时,上式也成立,所以.
(2)当时,,即有
当时,,则有 ,即数列 的前项和
【经典例题2】已知等差数列的前项和为,且.
(I)求的通项公式;
(II)求数列的前项和.
【解析】
(I)由题意,解得,于是 ,故的通项公式为.
(II)由(I)知.
(1)当时,
(2)当n>7时,
【练****1】已知在前n项和为的等差数列中，，．求数列的前20项和．
【答案】.
【解析】，可得，即，故时，
所以.
【练****2】等差数列中，，（，），求数列的前项和．
【答案】.
【解析】
由题意可知：数列的公差，则，
数列的前项和，
令，即，则，
设数列的前项和为，则有：
当时，；
当时，
，
综上所述：.
【练****3】数列中，，，求数列的前n项和．
【答案】
【解析】
∵数列中，，∴，
又∵，∴数列是首项为31，公差为的等差数列，
则，
当时，；当时，.
设等差数列的前项和为，则
，
当时， ，
当时，，
所以
【练****4】已知数列的前n项和，求数列的前n项和.
【答案】.
【解析】
，
当时，.
∵也符合上式，∴数列的通项公式为.
由，得，
即当时，；当时，.
当时，；
当时，
故
◆数列奇偶性求和
对于数列奇偶性的问题,基本原则有两种手段：第一是所有的奇数项相加,所有的偶数项相加;第二是相邻的奇数项与偶数项相加作为新的一项.
【经典例题1】在数列中,且,则________.
【解析】当为奇数时,;当为偶数时,,因此数列的奇数项都是1,偶数项成公差为2的等差数列,则故填2600.
【经典例题2】数列满足,则的前60项和为_____.
【解析】
有 ,
,
.
从而可得,
,
从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于2 ,从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项, 以16为公差的等差数列.
的前60项和为故答案为:1830.
【经典例题3】已知数列满足:当且时,有 .则数列的前200项和为
A. 300 B. 200 C. 100 D. 0
【解析】已知,可令,则,可得
可知数列的前200项和为300.故选.
【练****1】已知数列满足：，，.
(1)记，求数列的通项公式；