人教高中数学专题8-2 立体几何中的角和距离问题（含探索性问题）(解析版）.docx

专题8-2立体几何中的角和距离问题（含探索性问题）
目录
专题8-2立体几何中的角和距离问题（含探索性问题） 1
1
题型一：异面直线所成角（含定值，最值，范围） 1
题型二：线面角（定值，最值） 12
题型三：线面角探索性问题 32
题型四：二面角（定值，最值） 47
题型五：二面角探索性问题 68
题型六：点到平面距离问题 80
95
题型一：异面直线所成角（含定值，最值，范围）
【典例分析】
例题1．（2022·山东泰安·二模）已知，两点都在以为直径的球的球面上，，，若球的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
如图，取中点，连接，由可得是的外心，则平面，又，，
由得，即，又，，分别是中点，
，，以为轴建立空间直角坐标系，
则，与平行的向量，
，故异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
故选：A.
例题2．（2022·江苏省横林高级中学高二阶段练****在正方体中，是棱的中点，是底面内（包括边界）的一个动点，若平面，则异面直线与所成角的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：取中点，中点，连接，，，取中点，连接，
在正方体中，是棱的中点，
，，，
，，
平面平面，
是底面内（包括边界）的一个动点，平面，
的轨迹是线段，
如图，以D为原点，为轴建立空间之间坐标系，设正方体棱长为2
则，，，，
由于在线段上，设，且
所以
则 ，又
所以
由于，所以
所以异面直线与所成角的取值范围.
故选：C.
例题3．（2022·湖北·荆门市东宝中学高二期中）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.
（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
【答案】(1) (2)
【详解】试题分析：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为．
（1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，．
因为．
设平面的法向量为，则，
即，令，解得．
所以是平面的一个法向量，从而，
所以平面与平面所成二面角的余弦值为．
（2） 因为，设，
又，则，
又，
从而，
设，
则，
当且仅当，即时，的最大值为．
因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．
又因为，所以．
【提分秘籍】
设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：
①
②
③涉及到异面直线所成角所成范围或最值问题时，根据得到的解析式，可通过配方为二次函数，或者基本不等式，或者求导，求出范围或者最值.
【变式演练】
1．（2022·江苏·高二阶段练****在长方体中，为空间内一点，为底面内一点，且满足，异面直线与所成角为，则当线段的长度取最小值时，的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，即，
所以点在直线上.又异面直线与所成的角为，为底面内一点，所以点在以点为圆心，半径为的圆上，因此要使长度最小，则、、共线，且.因为，，所以，，此时，又因为与反向，所以.
故选：B.
2．（多选）（2022·河南·高二期中）在三棱锥中，平面平面BCD，，，为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，若异面直线DE与BF所成角的余弦值为，则AF的值可能为（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】AC
【详解】由为等边三角形，取BD的中点O，连接,则
又平面平面BCD，且平面平面
所以平面BCD，由
过作与平行的直线为轴，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，则，，
所以．
设，则，，
则，解得或，
故或．
故选：AC
3．（多选）（2022·浙江·余姚中学高二阶段练****如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，是线段上的动点（不包括端点），若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段的长度可能为（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，因为与为异面直线，所以，，，
则，
异面直线与成的角，
，
，，
，解得，
，
线段长的取值范围是．
故选：AB．
4．（2022·云南·玉溪市民族中学模拟预测（文））如图，在直三棱柱中，D，E，F分别是的中点，．
(1)证明：平面；
(2)若，求异面直线与所成角的余