人教高中数学专题12 平面向量（解析版）.docx

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专题12 平面向量
【练基础】
一、单选题
1．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知是边长为1的正三角形，，，则（    ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据题意画出图像，即可得出，，再得出，代入计算即可得出答案．
【详解】由，可知E为BC中点，所以，如图所示：
因为，根据上图可知
故选：A
2．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知平面非零向量满足，则的最小值为（    ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根据向量数量积的定义和关系，把的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即可．
【详解】设非零向量，的夹角为.
，所以，
由两边平方得：，
，
，
即，
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即，
，，即当时，取得最小值，最小值为8.
故选：C．
3．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知平面单位向量，，满足，则（    ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据可得，替换，利用数量积的运算即可求解.
【详解】如图，设，，
因为，所以平行四边形为菱形，
则为正三角形，所以，且反向，
所以，所以，
因为，
所以，
故选:C.
4．（2023·全国·高三专题练****已知向量，，若与的夹角为，则在方向上的投影为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量夹角的坐标表示可构造方程求得的值，根据投影的定义可直接求得结果.
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【详解】，，
当时，，解得：；
若，不合题意，；
当时，，解得：（舍）；
综上所述：，，
在方向上的投影为.
故选：C.
5．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（    ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算得，再利用数量积的计算公式计算即可.
【详解】在边长为2的等边中, BD为中线，则
故选：A
6．（2022·河南·统考一模）已知抛物线的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则的最小值为（    ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】由题作图，由图可得，根据抛物线定义可得等于点到准线的距离，根据图形可得最小值情况，从而可得
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的最小值.
【详解】因为抛物线，所以焦点坐标为，如下图所示：连接，过作垂直准线于，
则在直角中，，
所以，
由抛物线的定义得：，
则由图可得的最小值即抛物线顶点到准线的距离，即，
所以.
故选：D.
7．（2022·全国·高三专题练****已知双曲线的上、下焦点分别是，，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的值是（    ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】设，结合以及列方程，化简求得离心率.
【详解】设，则①，
利用向量加法法则知，则
即，
故②，
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设，
则，
③，
由②③得，即，
又，所以，即，即
所以双曲线离心率的值是3
故选：D
8．（2023·全国·高三专题练****如图，在中，点D是边AB上一点且，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是的平分线，则（    ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】首先根据BF是的平分线，则存在一个实数使得，
再替换向量和，利用平面向量基本定理的推论，即可求解.
【详解】因为BF是的平分线，所以存在一个实数使得，（根据角平分线的条件，选择合适的基底）
因为E是边BC的中点，所以，又点A，E，F共线，所以①．（三点共线的应用：（，为实数），若A，B，C三点共线，则）
因为，所以，又点C，F，D共线，所以②，联立①②，得，则
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，即.
故选：C．
二、多选题
9．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．若，则的值为
C．若，则的值为
D．若，则与的夹角为锐角
【答案】AC
【分析】根据平面向量的模公式、垂直向量、共线向量的性质，结合平面向量夹角公式进行逐一判断即可.
【详解】因为，所以选项A说法正确；
因为，所以，所以选项B说法不正确；
因为，所以，所以选项C说法正确；
当时，，所以，因此选项D说法不正确，
故选：AC
10．（2023·全国·模拟预测）在菱形中，，，点为线段的中点，和交于点，则（