人教高中数学专题13 点差法在圆锥曲线中的应用（解析版）.docx

专题13 点差法在圆锥曲线中的应用
一、考情分析
圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型,在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”.
二、解题秘籍
(一)求以定点为中点的弦所在直线的方程
求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率,再用点斜式写出直线方程.特别提醒：求以定点为中点的双曲线的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点.
【例1】过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,求这条弦所在直线的方程.
【解析】设直线与椭圆的交点为、
为的中点 　　
又、两点在椭圆上,则,
两式相减得
于是
即,故所求直线的方程为,即.
【例2】已知双曲线,离心率,虚轴长为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点能否作直线,使直线与双曲线交于两点,且点为弦的中点?若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由．
【解析】(1),,,．
,．
．
∴双曲线的标准方程为．
(2)假设以定点为中点的弦存在,
设以定点为中点的弦的端点坐标为,,
可得,．
由,在双曲线上,可得：,
两式相减可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为：
,
则以定点为中点的弦所在的直线方程为．即为,
代入双曲线的方程可得,
由,
所以不存在这样的直线．
(二) 求弦中点轨迹方程
求弦中点轨迹方程基本类型有2类,一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦的中点轨迹方程.
【例3】（2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考）已知椭圆经过点，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点的直线与椭圆交于，两点，设坐标原点为，线段的中点为，求的最大值.
【解析】（1）椭圆经过点，其离心率为．
，，，，
故椭圆的方程为：；
（2）当直线斜率不存在时，M与O重合，不合题意，
当直线斜率存在时，设，，，
则有，，直线的斜率为，
，两点在椭圆上，有，，
两式相减，，即，
得，化简得，
，∴当时，
的最大值为
【例4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题.
引理 ：设、是二次曲线上两点,是弦的中点,且弦的斜率存在,
则……（1）
……（2）
由（1）-（2）得
,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴直线的斜率.
二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等．
请根据上述求直线斜率的方法（用其他方法也可）作答下题：
已知椭圆.
（1）求过点且被点平分的弦所在直线的方程;
（2）过点引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.
【解析】（1）设、是椭圆上两点,是弦的中点,
则,两式相减得：
,
∵,,
∴,
∴,
∴直线的斜率.
直线AB的方程为,即.
因为在椭圆内部,成立.
（2）由题意知：割线的斜率存在,设、是椭圆上两点,是弦的中点,
则,两式相减得：
,
∵,,
∴,
∴,
∴直线的斜率
又,
所以 ,
化简得：,
所以截得的弦的中点的轨迹方程为
(三) 求直线的斜率
一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率
【例5】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N在椭圆C上.
(1)若线段MN的中点坐标为,求直线MN的斜率；
(2)若M,N,O三点共线,直线NF1与椭圆C交于N,P两点,求△PMN面积的最大值.
【解析】(1)设,则,
两式相减,可得,
则,
解得,即直线MN的斜率为；
(2)显然直线NF1的斜率不为0,设直线NF1：,,
联立,消去x整理得,显然,
故,故△PMN的面积
,
令,则,当且仅当,即时等号成立,故△PMN面积的最大值为.
【例6】已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：
；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率.
【解析】（1）证 略.
（2）解 ,设线段的中点为.
又在椭圆上,,（1）,（2）
得：,
.
直线的斜率,直线的方程为.
令,得,即,直线的斜率.
(四) 点差法在轴对称中的应用
【例7】（2023届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测）已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．
(1)求C的方程；
(2)若，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设