人教高中数学专题15 数列的概念与表示(解析版).docx

专题15 数列的概念与表示
【考纲要求】
1、了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法)．
2、了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
【思维导图】
【考点总结】
1．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义
①数列：按照一定顺序排列的一列数；
②数列的项：数列中的每一个数．
(2)数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1>an
其中，n∈N*
递减数列
an＋1<an
常数列
an＋1＝an
(3)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
2．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
【题型汇编】
题型一：数列的概念
题型二：递增数列与递减数列
题型三：数列的通项公式
题型四：数列的递推
【题型讲解】
题型一：数列的概念
一、单选题
1．（2022·宁夏·银川一中一模（文））意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题:已知-对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件先分析数列中相邻三项的奇偶性情况，然后得到前项中的偶数个数，由此可求解出对应概率.
【详解】
因为奇数加奇数结果是偶数，奇数加偶数结果是奇数，偶数加奇数结果是奇数，
所以数列中任意相邻的三项，其中一项为偶数，两项为奇数，
所以前项中偶数有项，
所以这个数是偶数的概率为.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于分析斐波那契数列中项的奇偶组成，通过项的奇偶组成确定出项中奇数和偶数的项数，完成问题的求解.
2．（2022·浙江·高三专题练****已知数列满足：，，，则数列前100项的和为(       )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先分别求出的前9项，观察这9项知是周期为6的周期函数，由此能求出前100项之和．
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
，
是周期为6的周期函数，
，
﹒
故选：C﹒
3．（2022·全国·高三专题练****已知数列，满足，若，则（       ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【解析】
利用递推公式计算出数列的前几项，找出数列的周期，然后利用周期性求出的值.
【详解】
由，且
则，，
所以，即数列是以3为周期的周期数列
所以
故选：A
题型二：递增数列与递减数列
一、单选题
1．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列满足，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数列的单调性可知每一段上单调递增且，由此可构造不等式求得结果.
【详解】
为单调递增数列，，即，解得：，
即实数的取值范围为.
故选：B.
2．（2022·上海崇明·二模）已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（       ）
A．数列是递增数列 B．数列是递减数列
C．数列存在最小项 D．数列存在最大项
【答案】C
【解析】
【分析】
对AB，举公比为负数的反例判断即可
对CD，设等比数列公比为，分和两种情况讨论，再得出结论即可
【详解】
对AB，当公比为时，此时，此时既不是递增也不是递减数列；
对CD，设等比数列公比为，当时，因为，故，故，此时，易得随的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项；
当时，因为，故，故，，因为，故当为偶数时，，随着的增大而增大，此时无最大值，当时有最小值；当为奇数时，，随着的增大而减小，故无最小值，有最大值.综上，当时，因为，故当时有最小值，当时有最大值
综上所述，数列存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误
故选：C
3．（2022·广东广州·三模）等比数列中，，且，，成等差数列，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等