人教高中数学专题16 函数与导数常见经典压轴小题全归类（精讲精练）（解析版）.docx

专题16 函数与导数常见经典压轴小题全归类
【命题规律】
1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．
2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．
【核心考点目录】
核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型
核心考点二：函数嵌套问题
核心考点三：函数整数解问题
核心考点四：唯一零点求值问题
核心考点五：等高线问题
核心考点六：分段函数零点问题
核心考点七：函数对称问题
核心考点八：零点嵌套问题
核心考点九：函数零点问题之三变量问题
核心考点十：倍值函数
核心考点十一：函数不动点问题
核心考点十二：函数的旋转问题
核心考点十三：构造函数解不等式
核心考点十四：导数中的距离问题
核心考点十五：导数的同构思想
核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法
核心考点十七：三次函数问题
核心考点十八：切线问题
核心考点十九：任意存在性问题
核心考点二十：双参数最值问题
核心考点二十一：切线斜率与割线斜率
核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题
核心考点二十四：函数的伸缩变换问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（    ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【解析】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
4．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，则在
上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极