人教高中数学专题18 利用函数的极值求参数值(解析版).docx

专题18 利用函数的极值求参数值
一、单选题
1．若函数的极值为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
对分和两种情况讨论，分析函数的单调性，结合函数的极值为，可求得实数的值.
【详解】
由已知可得.
当时，对任意的，，此时函数在上单调递增，函数无极值；
当时，令，可得，此时函数单调递减；
令，可得，此时函数单调递增.
所以，函数的极小值为，
令，则且，.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以，，由于，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的极值存在的条件求参数的值，考查计算能力，属于中等题.
2．已知，，若是函数的极小值点，则实数的取值范围为（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】B
【分析】
由既是的极小值点，又是零点，且的最高次项系数为1，因此可设，这样可求得，然后求出，求得的两个零点，一个零点是，另一个零点必是极大值点，由可得的范围．
【详解】
因为，是函数的极小值点，结合三次函数的图象可设，又，
令得，，即，
，由得，，
是极小值点，则是极大值点，，所以．
故选：B．
【点睛】
本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围．
3．若，，且函数在处有极值，则的最大值等于（ ）.
A．16 B．25 C．36 D．49
【答案】C
【分析】
先对函数求导，根据题中条件，得到，再结合基本不等式，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
又函数在处有极值，
所以，即，
因为，，
所以，当且仅当时，等号成立.
故选：C.
4．若函数不存在极值点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【分析】
由已知条件得只有一个实数根或没有实数根，从而 由此能求出的取值范围.
【详解】
，
在定义域内不存在极值，
只有一个实数根或没有实数根，
，
故选：D.
【点睛】
本題主要考查极值的概念，利用导数研究函数的极值，考查发推理论证能力，转化能力，属于中档题.
5．函数在处取得极值，则（ ）
A．，且为极大值点 B．，且为极小值点
C．，且为极大值点 D．，且为极小值点
【答案】B
【分析】
先求导，再根据题意得，由此求得，再根据导数研究函数的极值．
【详解】
解：∵，
∴，
又在处取得极值，
∴，得，
∴，
由得，，即，
∴，即，
同理，由得，，
∴在处附近的左侧为负，右侧为正，
∴函数在处取得极小值，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题．
6．已知在处取得极值，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
求导，根据极值点得到，，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
，故，
根据题意，即，
经检验在处取得极值.
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据极值点求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.
7．若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出，根据在内有极小值可得的图象性质，从而可求的取值范围.
【详解】
，
由题意在区间上有零点，
且在该零点的左侧附近，有，右侧附近有.
则在区间上有零点，
且在该零点的左侧附近，有，右侧附近有.
当时，为开口向上的抛物线且，故，无解.
当，则，舍.
当，为开口向下的抛物线，其对称轴为，
故，解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的极值，注意根据极值的类型判断导数的函数图象性质，本题属于中档题.
8．已知函数的极大值为4，若函数在上的极小值不大于，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
对函数求导，令导函数为0，结合函数单调性可得极值，明确极大值和极小值的定义求解即可.
【详解】
∵，
当时，，无极值；
当时，,
的递增区间是,
递减区间是，在处取得极大值，
则有，解得，
于是，.
当时，，在上不存在极小值.
当时，在单调递减，
在单调递增，所以在处取得极小值，
依题意有，
即解得.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查