人教高中数学专题30 根据步骤列出离散型随机变量的分布列(解析版).docx

专题30 根据步骤列出离散型随机变量的分布列
一、解答题
1．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得，，，，.
（1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
（2）求关于的线性回归方程；
（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100万元，乙款机器每台售价80万元，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限统计表：
1年
2年
3年
4年
合计
甲款
5
20
15
10
50
乙款
15
20
10
5
50
根据以往经验可知，某县城每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元，若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限（使用年限均为整年），以频率估计概率，该县城选择购买一台哪款垃圾处理机器更划算？
参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【答案】（1）因为与的相关系数接近，所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合；（
2）；（3）甲款.
【分析】
（1）根据相关系数的计算公式及参考数据即可得出结论；
（2）根据参考公式及参考数据即可求解；
（3）分别求出从两款机器中购买一台节的政府支持的拉圾外理费用的分布列，然后分别求出期望，比较即可得出结果
【详解】
解（1）由题意知相关系数，
因为与的相关系数接近，
所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.
（2）由题意可得，，
，
所以.
（3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用（单位：万元）的分布列为：
0
50
100
（万元）.
购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用（单位：万元）的分布列为：
20
70
120
（万元）.
因为，所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.
【点睛】
思路点睛：
求解回归直线方程时，一般根据题中数据，计算变量的平均值，根据最小二乘法，结合公式求解.
2．某电子产品加工厂购买配件并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概率分别为，，丙部门检修合格的概率为．
（1）求该工厂购买的任一配件可以进入市场销售的概率．
（2）已知配件的购买价格为元/个，甲、乙两道工序的处理成本均为元/个，丙部门的检修成本为元个，若配件加工成型进入市场销售，售价可达元/个；若配件报废，要亏损购买成本以及加工成本．若市场大量需求配件的成型产品，试估计该工厂加工个配件的利润．（利润售价购买价格加工成本）
【答案】（1）；（2）万元．
【分析】
（1）根据题意分析出哪种情形下配件可进入市场销售，利用相互独立事件的概率计算公式进行求解即可；
（2）先设工厂加工5000个配件的利润为元，加工一个配件的利润为元，则，再求出的所有可能取值及其对应的概率，进而可得的期望，最后利用数学期望的性质即可得解．
【详解】
（1）记任一配件加工成型可进入市场销售为事件，甲、乙两道工序分别处理成功为事件，，丙部门检修合格为事件．
则．
（2）设该工厂加工个配件的利润为元，加工一个配件的利润为元，则．
由题可知的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
．
的分布列为
104
88
∴，
∴.
∴估计该工厂加工个配件的利润为万元．
【点睛】
关键点点睛：求解本题第（2）问的关键是准确求出离散型随机变量的所有取值及其对应的概率，并且在求出分布列后，注意运用分布列的两个性质（①，；②）检验所求的分布列是否正确；（2）在求出后，会利用期望的性质求．
3．某生物研究所为研发一种新疫苗，在200只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计数据：
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
35
注射疫苗
65
总计
100
100
200