人教高中数学专题30 圆锥曲线求过定点大题100题(解析版).docx

专题30 圆锥曲线求过定点大题100题
1．已知椭圆C：.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线相交于点M,N.当点P运动时,以M,N为直径的圆是否经过轴上的定点？试证明你的结论.
【答案】（1）（2）以为直径的圆经过轴上的定点和,证明见解析
【分析】
（1）先将转化为,根据椭圆的性质得到,即可求出离心率.
（2）根据椭圆方程求出,设,则①,分别求出直线和的方程,再分别与相交于点 和,设以为直径的圆经过轴上的定点,则,即得②,将①代入②得
解得或,得出为直径的圆是过定点和.
【详解】
解：（1）由得,
那么
所以
解得,所以离心率
（2）由题可知,
设,则①
直线的方程：
令,得,从而点坐标为
直线的方程：
令,得,从而点坐标为
设以为直径的圆经过轴上的定点,则
由得②
由①式得,代入②得
解得或
所以为直径的圆经过轴上的定点和.
2．已知椭圆：的短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线，被椭圆截得的弦长；
（3）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）椭圆的方程：（2）（3）见解析，
【分析】
（1）根据椭圆短轴长公式和离心率公式进行求解即可；
（2）求出过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线方程，将与椭圆方程联立，结合椭圆弦长公式和一元二次方程根与系数关系进行求解即可；
（3）根据以为直径的圆过椭圆的右顶点，可以得到向量的数量积为零，将直线方程与椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数进行求解即可.
【详解】
（1）因为椭圆：的短轴长为，离心率为，
所以有且，而，解得，因此椭圆的标准方程为：；
（2）因为，所以椭圆的右焦点坐标为，因此过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线方程是，
因此有因此设交点坐标分别为，因此有，因此有
,
所以直线被椭圆截得的弦长为；
（3）设，由题意可知，设椭圆右顶点的坐标为：，因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，所以有
，
即.
直线与椭圆的方程联立，得：
因此，
因此由可得：，化简得：
，或
当时，直线方程为该直线恒过点这与已知矛盾，故舍去；
当时，直线方程为该直线恒过点，综上所述：直线过定点.
3．如图,已知椭圆的上顶点为,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点 (不同于点).当变化时,试问直线是否过某个定点若是,求出该定点;若不是,请说明理由.
【答案】(1) (2) 过定点
【分析】
(1) 椭圆的上顶点为,离心率为,可得,即可求得答案.
(2) 设切线方程为,则,即.设两切线的斜率分别为,则是上述方程的两根,根据韦达定理可得:,结合已知即可求得答案.
【详解】
(1) 椭圆的上顶点为,离心率为
可得 解得
椭圆的方程为.
(2)设切线方程为,则
即
设两切线的斜率分别为,
则是上述方程的两根,根据韦达定理可得:
由 消掉得:
设

同理可得
直线BD方程为
令,得,
故直线过定点.
4．已知动点到定点的距离比它到轴的距离大.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设点(为常数)，过点作斜率分别为的两条直线与，交曲线于两点，交曲线于两点，点分别是线段的中点，若，求证：直线过定点.
【答案】（1）（2）见解析
【分析】
（1）由题意可得，点到定点的距离等于它到的距离，从而点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，从而求出答案；
（2）先写出直线的点斜式方程，再联立抛物线方程消元，得韦达定理结论，利用中点坐标公式求出点，同理求出点，从而求出直线直线的斜率及直线方程，从而得出直线过定点．
【详解】
解：（1）∵点到定点的距离比它到轴的距离大1，
∴点到定点的距离等于它到的距离，
∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
∴动点的轨迹的方程为
（2）由题意，直线的方程为，
设，由，得，
∴，
又线段的中点为，所以，同理，
∴直线的斜率，
∴直线的方程为：，
即，
∴直线过定点．
5．已知F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，.
（1）求抛物线的方程：
（2）已知为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.
【答案】（1） （2）过定点，
【分析】
(1)设出直线的方程，联立抛物线的方程，根据韦达定理即可