人教专题2.3 函数的单调性与最值-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题2.3 函数的单调性与最值-重难点题型精讲
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数
当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间．
2．函数的最值
(1)函数的最大（小）值：

(2)利用函数单调性求最值的常用结论：
①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；
②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.
【题型1 求函数的单调区间】
确定函数单调性的四种方法：
(1)定义法：利用函数单调性的定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
【例1】（2021秋•东海县期中）函数f（x）=1x的单调减区间是（　　）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0）和（0，+∞）
【解题思路】根据题意，求出函数的导数，由导数与函数单调性的关系分析可得f（x）的递减区间，综合即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，函数f（x）=1x，其定义域为{x|x≠0}其导数f′（x）=−1x2，
分析可得：当x＞0时，f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
当x＜0时，f′（x）＜0，即函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数；
综合可得：函数f（x）=1x的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）；
故选：D．
【变式1-1】（2022春•喀什市校级期末）函数y=12x2−lnx的单调减区间是（　　）
A．（0，1） B．（0，1）∪（﹣∞，﹣1）
C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，+∞）
【解题思路】求出函数y的定义域，利用导函数研究其单调性即可．
【解答过程】解：函数y=12x2−lnx，其定义域为（0，+∞）．
那么：y′＝x−1x，
令y′＝0，解得：x＝1．
当x∈（0，1）时，y′＜0，那么函数y在x∈（0，1）上是单调性减函数．
故选：A．
【变式1-2】（2021春•资阳期末）函数f（x）=x−x的递增区间为（　　）
A．(0，14) B．（0，1） C．(14，+∞) D．（1，+∞）
【解题思路】对f（x）求导，令f′（x）＞0，即可求解函数f（x）的单调递增区间．
【解答过程】解：f（x）=x−x的定义域为[0，+∞），
f′（x）=12x−1，
令f′（x）＞0，可得0＜x＜14，
所以函数f（x）=x−x的递增区间为（0，14）．
故选：A．
【变式1-3】（2021秋•三明期中）函数f（x）＝|x﹣2|•（x﹣4）的单调递减区间是（　　）
A．[2，4] B．[2，3] C．[2，+∞） D．[3，+∞）
【解题思路】将函数化成分段函数的形式，作出图象即可求解．
【解答过程】解：函数f（x）＝|x﹣2|（x﹣4）=(x−2)(x−4)，x≥2(2−x)(x−4)，x＜2，
作出函数的图象，如图所示：
由图象可得函数的单调递减区间是[2，3]，
故选：B．
【题型2 判断或证明函数的单调性】
【方法点拨】
1.定义法：利用函数单调性的定义讨论函数的单调性.
2.导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
3.图象法：根据函数解析式画出函数图象，通过函数图象研究单调性.
注：①复合函数单调性的判断方法：根据复合函数的单调性满足“同增异减”，可判断复合函数的单调性；
②抽象函数单调性的判断方法：一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是“