人教专题2.17 函数与方程-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题2.17 函数与方程-重难点题型精讲
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点．
(3)函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
【题型1 函数零点所在区间的判断】
【方法点拨】
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.
若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【例1】（2022春•新兴区校级期末）函数f(x)=log12x+1x的零点所在区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【解题思路】根据函数零点的判定定理，求解即可．
【解答过程】解：f（1）＝log121+1＝0+1＝1＞0，f（2）＝log122+12=−1+12=−12＜0，
所以，函数f(x)=log12x+1x的零点所在区间为（1，2）．
故选：B．
【变式1-1】（2022春•湖南月考）函数f（x）＝2x+3x﹣3的零点所在区间是（　　）
A．(0，12) B．(12，1) C．(1，32) D．(32，2)
【解题思路】由函数解析式可得函数的单调性，再由f(12)＜0，f（1）＞0得结论．
【解答过程】解：由f（x）＝2x+3x﹣3，可知f（x）是R上的增函数，
∵f(12)=2−32＜0，f(1)=2＞0，∴f（x）的零点在区间(12，1)内．
故选：B．
【变式1-2】（2022春•祥符区月考）函数f(x)=log4x−12x的一个零点所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（2，3） C．（2，e） D．（1，2）
【解题思路】首先判断函数为（0，+∞）上的增函数，再结合f（1）＜0，f（2）＞0得结论．
【解答过程】解：函数f(x)=log4x−12x是（0，+∞）上的增函数，
又f（1）=log41−12=−12＜0，f（2）=log42−14=12−14=14＞0，
∴函数f(x)=log4x−12x的一个零点所在的区间是（1，2），
故选：D．
【变式1-3】（2022春•贵池区校级月考）函数f(x)=(13)x−x−5的零点所在的一个区间是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0） D．（0，1）
【解题思路】直接利用函数零点存在性定理判断即可．
【解答过程】解：易知函数f（x）在R上单调递减，且f(−2)=(13)−2+2−5=6，f(−1)=(13)−1+1−5=−1，则f（﹣2）•f（﹣1）＜0，
故由零点存在性定理可知，函数f（x）在（﹣2，﹣1）上存在一个零点．
故选：B．
【题型2 函数零点个数的判定】
【方法点拨】
函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与
性质确定函数零点个数；
(3)数形结合法，作出两函数图象，观察两函数图象的交点个数，即得函数的零点个数．
【例2】（2022•泾县校级开学）已知函数f(x)=log2x，0＜x≤2，12f(x2)，x＞2，则函数g（x）＝2xf（x）﹣1在（0，32）上的零点个数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解题思路】函数零点个数可转化为函数y＝2f（x）与y=1x的图象交点的个数，根据函数解析式作出函数图象，数形结合求解即可．
【解答过程】解：由g（x）＝2xf（x）﹣1＝0，可得2f(x)=1x，
故函数g（x）的零点个数即函数y＝2f（x）与y=1x的图象交点