人教专题3.3 函数的奇偶性与周期性 2022年高考数学一轮复习讲练测（讲）解析版.docx

专题3.3 函数的奇偶性与周期性
新课程考试要求
1．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性.
核心素养
培养学生数学抽象（例5.6.14.15）、数学运算（例3等）、逻辑推理（例2）、直观想象（例9.10）等核心数学素养.
考向预测
1.判断函数的奇偶性与周期性；
2.函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，常结合三角函数加以考查，有时与数列结合考查周期数列相关问题．
【知识清单】
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【考点分类剖析】
考点一 ：函数奇偶性的判断
【典例1】【多选题】（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高一月考）已知函数的定义域都是R，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】AD
【解析】
由奇偶性的定义逐一证明即可.
【详解】
对于A，，，即是奇函数，故A正确；
对于B，，，即是偶函数，故B错误；
对于C，，，即是奇函数，故C错误；
对于D，，，即是偶函数，故D正确；
故选：AD
【典例2】【多选题】（2021·浙江高一期末）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，，偶函数，且在为增函数，符合题意；
对于，，不是偶函数，不符合题意；
对于，，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意；
对于，，是偶函数，且在为增函数，符合题意；
故选：．
【知识拓展】
(1)奇、偶函数定义域的特点．
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)奇、偶函数的对应关系的特点．
①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0)；
②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0)．
(3)函数奇偶性的三个关注点．
①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；
②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；
③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
(4)奇、偶函数图象对称性的应用．
①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
【变式探究】
1.（2019·天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
易知和为奇函数，为偶函数.
令，则，即且.
所以为非奇非偶函数.
故选D.
2.（2021·上海高三二模）设，则“图象经过点”是“是偶函数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【解析】
直接利用函数奇偶性的定义进行判定，结合充分条件，必要条件的定义即可判断.
【详解】
若函数图象经过点时，
则或为偶函数．
若为偶函数，
①时为奇函数，
②时为非奇非偶函数，
③时为偶函数，
∴若为偶函数时，
∴函数图象经过点是为偶函数的充要条件．
故选：C．
考点二：函数奇偶性的应用
【典例3】（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，
则当x<0时，f(x)= （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
是奇函数，x≥0时，．
当时，，，得．故选D．
【典例4】（2021·黑龙江哈尔滨三中高三三模（文））已知函数为奇函数，当时，，且，则（