人教专题3.5 指数与指数函数 2022年高考数学一轮复习讲练测（讲）解析版.docx

专题3.5 指数与指数函数
新课程考试要求
1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。
2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.
3.了解指数函数的变化特征.
核心素养
培养学生数学抽象（例5）、数学运算（多例）、逻辑推理（例8）、直观想象（例6.7.9）等核心数学素养.
考向预测
1.指数幂的运算；
2．指数函数的图象和性质的应用；
3．与指数函数相关，考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等，常与的对数函数等结合考查，如比较函数值的大小；
【知识清单】
1．根式和分数指数幂
1．n次方根
定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*
个数
n是奇数
a＞0
x＞0
x仅有一个值，记为
a＜0
x＜0
n是偶数
a＞0
x有两个值，且互为相反数，记为±
a＜0
x不存在
2.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：
①()n＝a.
②＝
3.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象和性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0<y<1
当x<0时，y>1；
当x>0时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
【考点分类剖析】
考点一 根式、指数幂的化简与求值
【典例1】（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学
【答案】C
【解析】
判断出，，的大小关系即可得出答案.
【详解】
，．∵．∴．
又∵，，∴．
∴有．
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．
故选：C.
【典例2】计算：21412−(−9.6)0−82723+32−2．
【答案】.
【解析】分析：直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误.
详解： 21412−(−9.6)0−82723+32−2
=9412−1−233×23+232
=32−1
=12．
【规律方法】
化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．
【变式探究】
1.计算：1.5－×0＋80.25×＋(×)6－
【答案】
【解析】原式＝.
2.计算：×0＋×－＝________.
【答案】
【解析】原式＝×1＋×－.
【易错提醒】
1.根式：
（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．
（2）＝0(n＞1，且n∈N*)．
（3）有限制条件的根式化简的步骤
2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．
3.把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分，否则，有时会改变a的取值范围而导致出错，如，a∈R，化成分数指数幂应为a，a∈R，而a＝，则有a≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．
4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
考点二：根式、指数幂的条件求值
【典例3】已知x+x−1=3 ，则x32+x−32的值为__________．
【答案】25
【解析】
题意(x12+x−12)2=x+2+x−1=5，∴x12+x−12=5，
∴x32+x−32=(x12+x−12)(x−1+x−1)=5(3−1)=25，
故答案为25．
【典例