人教专题3.5 导数与函数的极值、最值-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题3.5 导数与函数的极值、最值-重难点题型精讲
1．函数的极值与导数
条件
f′(x0)＝0
x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0
x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0
图象
极值
f (x0)为极大值
f (x0)为极小值
极值点
x0为极大值点
x0为极小值点
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值．
【题型1 根据函数图象判断极值】
【方法点拨】
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数 y＝f(x)的可能极值点；
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极
值点.
【例1】（2022春•杨浦区校级期末）已知函数y＝f（x）（a＜x＜b）的导函数是y＝f'（x）（a＜x＜b），导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）在（a，b）内有（　　）
A．3个驻点 B．4个极值点
C．1个极小值点 D．1个极大值点
【解题思路】由题意结合导函数图像即可确定函数的性质．
【解答过程】解：由导函数的图象可知，原函数存在4个驻点，函数有3个极值点，其中2个极大值点，1个极小值点．
故选：C．
【变式1-1】（2022春•纳雍县期末）已知函数f（x）的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．﹣1是f（x）的极小值点
B．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率小于零
C．f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减
D．﹣3是f（x）的极小值点
【解题思路】根据题意，由函数导数与单调性的关系依次分析选项，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，在x＝﹣1左右都有f′（x）＜0，﹣1不是f（x）的极值，A错误；
对于B，f′（x）的图象在（﹣3，3）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率即f′（2）小于零，B正确；
对于C，f′（x）的图象在（﹣∞，﹣3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C错误；
对于D，f′（x）的图象在（﹣∞，﹣3）上，f′（x）＞0，在（﹣3，3）上，f′（x）＜0，则﹣3是f（x）的极大值点，D错误；
故选：B．
【变式1-2】（2022春•朝阳区校级月考）如图，可导函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为y＝g（x），设h（x）＝g（x）﹣f（x），h'（x）为h（x）的导函数，则下列结论中正确的是（　　）
A．h'（x0）＝0，x0是h（x）的极大值点
B．h'（x0）＝0，x0是h（x）的极小值点
C．h'（x0）≠0，x0不是h（x）的极大值点
D．h'（x0）≠0，x0是h（x）的极值点
【解题思路】由图判断函数h（x）的单调性，结合y＝g（x）为y＝f（x）在点P处的切线方程，则有h'（x0）＝0，由此可判断极值情况．
【解答过程】解：由题得，当x∈（﹣∞，x0）时，h（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，h（x）单调递增，
又h'（x0）＝g'（x0）﹣f'（x0）＝0，
则有x0是h（x）的极小值点，
故选：B．
【变式1-3】（2022春•南阳期末）函数f（x）的导函数是f'（x），下图所示的是函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像，下列说法正确的是（　　）
A．x＝﹣1是f（x）的零点
B．x＝2是f（x）的极大值点
C．f（x）在区间（﹣2，﹣1）上单调递增
D．f（x）在区间[﹣2，2]上不存在极小值
【解题思路】根据函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像判断f′（x）的符号，进而判断f（x）的单调性和极值即可．
【解答过程】解：由函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像知，
当﹣2＜x＜﹣1时，x+1＜0，y＞0，∴f'（x）＜0，f（x）在（﹣2，﹣1）上减函数，
当﹣1＜x＜2时，x+1＞0，y＞0，∴f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，2）上增函数，
当x＞2时，x+1＞0，y＜0，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）上减函数，
∴x＝﹣1、x＝2分别是f（x）的极小值点、极大值点．
∴选项A、