人教专题05 函数 5.3指数函数 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题四 《函数》讲义
5.3 指数函数
知识梳理.指数函数
(1)根式的性质
①()n＝a(a使有意义)．
②当n是奇数时，＝a；
当n是偶数时，＝|a|＝
(2)分数指数幂的意义
①a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　
(3)有理数指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
2．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域为R，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0，1)
当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1
当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1
在定义域R上为增函数
在定义域R上为减函数
注意
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0<a<1来研究
题型一.比较大小
1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝（12）﹣1.5，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
【解答】解：利用幂的运算性质可得，
y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝（12）﹣1.5＝21.5，
再由y＝2x是增函数，知y1＞y3＞y2．
故选：D．
2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【解答】解：函数y＝0.6x为减函数；
故a＝0.60.6＞b＝0.61.5，
函数y＝x0.6在（0，+∞）上为增函数；
故a＝0.60.6＜c＝1.50.6，
故b＜a＜c，
故选：C．
3．设a＝（35)25，b=(25)35，c=(25)25，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【解答】解：∵y=x25在x＞0时是增函数
∴a＞c
又∵y=(25)x在x＞0时是减函数，所以c＞b
故选：A．
4．已知函数f（x）＝ex+e﹣x，若a＝f（21.1），b＝f（﹣1），c＝f（log23），则实数a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【解答】解：函数f（x）＝ex+e﹣x，为偶函数，在（0，+∞）上单调递增．
∵a＝f（21.1），b＝f（﹣1）＝f（1），c＝f（log23），1＜log23＜2＜21.1．
则实数a，b，c的大小关系为b＜c＜a．
故选：D．
题型二.指数函数的图像与性质
1．已知曲线y＝ax﹣1+1