人教专题05 函数 5.9函数零点 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题四 《函数》讲义
5.9 函数的零点
知识梳理.函数的零点
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
题型一. 零点所在的区间
1．函数f（x）＝3x−3x−2的零点所在区间是（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【解答】解：由于函数f（x）＝3x−3x−2，
∴f（1）＝3﹣3﹣2＝﹣2＜0，f（2）＝9−32−2＞0，
∵f（1）•f（2）＜0，函数是连续增函数，
∴函数f（x）＝3x−3x−2的零点所在的区间是（1，2），
故选：C．
2．函数f（x）＝log2x+x+2的零点所在的一个区间是（　　）
A．(0，18) B．(18，14) C．(14，13) D．(13，12)
【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且其图象在定义域上是一条不间断的曲线，
又f(18)=−3+18+2=−78＜0，f(14)=−2+14+2=14＞0，
由函数零点存在性定理可知，函数f（x）在(18，14)上有零点．
故选：B．
3．设函数y＝x3与y＝（12）x﹣2的图象交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（3，4） C．（1，2） D．（2，3）
【解答】解：函数y＝x3在R上单调递增，y=(12)x−2在R上是减函数．
∵x≤1时，函数y＝x3的图象在y=(12)x−2的下面；
x≥2时，函数y＝x3在y=(12)x−2的上面．
∴x0所在的区间是（1，2）．
故选：C．
题型二.零点的个数
1．函数f（x）＝4x|log0.5x|﹣1的零点个数为　2　．
【解答】解：函数的零点满足 |log0.5x|=(14)x，
则零点的个数即函数y＝|log0.5x|与y=(14)x 交点的个数，
绘制函数图象如图所示，
观察可得，交点个数为2，故函数零点的个数为2．
故答案为：2．
2．函数f（x）=2x−2，x≤1x2−3x+2，x＞1的图象与函数g（x）＝ln（x+1）的图象的交点的个数是　2　．
【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：
由两个函数的图象可知两个函数有2个交点，
故答案为：2．
3．若偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），在x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则关于x的方程f（x）＝（110）x在[0，4]上根的个数是　4　．
【解答】解：因为偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），所以函数f（x）的图象关于y轴对称，同时以2为周期．
根据x∈[0，1]时，f（x）＝x2得该函数在[0，4]上的图象为：
再在同一坐标系中做出函数y=(110)x的图象，如图，当x∈[0，4]时，两函数图象有四个交点．
所以方程f（x）＝（110）x在[0，4]上有4个根．
故答案为4．
4．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2，函数g（x）=loga(x−1)x＞12xx≤1，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上恰有8个零点，则a的取值范围为
（　　）
A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4）
【解答】解：函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上恰有8个零点即
函数f（x）与函数g（x）在区间[﹣5，5]上有8个交点，
由f（x+1）＝﹣f（x）＝f（x﹣1）知，
f（x）是R上周期为2的函数，
作函数f（x）与函数g（x）在区间[﹣5，5]上的图象如下，
由图象知，当x∈[﹣5，1]时，图象有5个交点，故在[1，5]上有3个交点即可；
故loga(3−1)＜1loga(5−1)＞1；
解得，2＜a＜4；
故选：A．
题型三.已知零点个数求参
1．若函数f（x）＝ex﹣x2+ax﹣1在区间[1，2]内有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A．[5−e22，+∞) B．（﹣∞，2﹣e]
C．(5−e22，2−e) D．[5−e22，2−e]
【解答】解：依题意，−a=