人教专题5.4 平面向量基本定理及坐标表示-重难点题型精练（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题5.4 平面向量基本定理及坐标表示-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·河南·高三阶段练****文））若向量BA=4,2，AC=−1,−3，则BC=（    ）
A．3,−1 B．−3,1 C．−3,−1 D．3,1
【解题思路】利用向量坐标的加法运算，把向量的坐标代入计算即可.
【解答过程】∵BC=BA+AC，∴BC=BA+AC=4,2+−1,3=3,−1.
故选：A.
2．（5分）（2022·全国·高三专题练****已知向量a,b,c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用基底a,b表示c，则（    ）
A．c=−2a+3b B．c=2a−3b
C．c=−3a+2b D．c=3a−2b
【解题思路】建立直角坐标系，得到a,b,c的坐标，设c=xa+yb，联立解方程组，求出x,y得出结论.
【解答过程】建立如图直角坐标系，则a=2,1−1,0=1,1，
b=0,4−2,1=−2,3，c=7,1−0,4=7,−3
设c=xa+yb，则7,−3=x1,1+y−2,3
所以7=x−2y−3=x+3y
解得：x=3,y=−2，
故c=3a−2b，
故选：D.
3．（5分）在正方形ABCD中，E,F 分别为BC，CD的中点，则不正确的是（    ）
A．AC=AF+12AB B．AC=AE+12AD
C．AC=13AE+23AF D．AC=AB+AD
【解题思路】根据向量的线性运算，一一判断各选项，可得答案.
【解答过程】由题意可得AC=AF+FC=AF+12DC=AF+12AB,A正确；
AC=AE+EC=AE+12BC=AF+12AD,故B正确；
由AE=AB+BE=AB+12BC=AB+12AD , AF=AD+DF=AD+12DC=AD+12AB,
可得AB+AD=23(AE+AF),
故AC=AB+AD=23AE+23AF,故C错误，D正确；
故选：C.
4．（5分）（2022·四川省高一阶段练****理））设x,y∈R，向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,−4)，且a⊥b,c//b，则|a+b|等于（    ）
A．22 B．10 C．3 D．4
【解题思路】由向量共线定理及垂直的坐标表示求得a=(2,1)、b=(1,−2)，应用向量线性运算、模长的坐标表示求结果.
【解答过程】由c//b知：b=λc且λ∈R，则{2λ=1−4λ=y，可得y=−2，即b=(1,−2)，
由a⊥b知：x−2=0，可得x=2，即a=(2,1)，
所以a+b=(3,−1)，故|a+b|=10.
故选：B.
5．（5分）（2022·江西赣州·高三期中（文））向量a=（1,3），b=3x−1,x+1，c=5,7，若a+b∥a+c，且c=ma+nb，则m+n的值为（    ）
A．2 B．52 C．3 D．72
【解题思路】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出x=1，再利用向量的坐标表示得到关于m、n的方程组进行求解.
【解答过程】由题意，得a+b=3x,x+4 ，a+c=6,10，
因为a+b∥a+c，所以30x=6x+24，解得x=1，
则c=ma+nb=m,3m+2n,2n=m+2n,3m+2n=5,7，
即m+2n=53m+2n=7，解得m=1n=2，故m+n=3.
故选：C.
6．（5分）（2022·全国·高三专题练****已知向量OA=(3,−4),OB=(6,−3),OC=(5−m,−3−m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（    ）
A．m=12 B．m≠12 C．m≠13 D．m≠14
【解题思路】根据题意得到AB与AC不共线，从而列出不等式，求出答案.
【解答过程】若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即AB与AC不共线，
∵OA=(3,−4)，OB=(6,−3)，OC=(5−m,−3−m)，
∴AB=OB−OA=(3,1)，AC=OC−OA=(2−m,1−m)，
∴3(1−m)−(2−m)≠0，解得m≠12.
故选：B．
7．（5分）（2022·江苏南通·高三开学考试）在△ABC中，AB=3,AC=2，A=π3，过△ABC的外心O的直线(不经过点A)分别交线段AB,AC于D,E，且AD=λAB，AE=μAC，则λ+μ的取值范围是（    ）
A．11+4618,1310 B．11+4618,2315
C．14+3618,1310 D．14+3618,2315
【解题思路】求得BC=7，外接圆的半径r=73，设AO=xAB+yAC，BO=(x−1)AB+