人教专题06 导数 6.4导数与函数的零点 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题六 《导数》讲义
6.4导数与函数的零点
知识梳理.函数的零点
1.判断、证明或讨论函数零点个数的方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0.
①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)<0；
②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.
2.已知函数有零点求参数范围常用的方法：
(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.
题型一. 讨论零点个数
1．函数f（x）=13x3+2x2+3x+43的零点个数为　2　．
【解答】解：∵函数f（x）=13x3+2x2+3x+43，
∴f'（x）＝x2+4x+3＝（x+1）（x+3），
令f'（x）＝0得：x＝﹣3或﹣1，
∴当x∈（﹣∞，﹣3）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（﹣3，﹣1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（﹣1，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴函数f（x）的极大值为f（﹣3）=43，极小值为f（﹣1）＝0，
∴函数f（x）的大致图象如图所示：
，
由图象可知，函数f（x）有2个零点，
故答案为：2．
2．设函数f（x）=13x﹣lnx（x＞0），则y＝f（x）（　　）
A．在区间（1e，1），（1，e）内均有零点
B．在区间（1e，1），（1，e）内均无零点
C．在区间（1e，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点
D．在区间（1e，1），内无零点，在区间（1，e）内有零点
【解答】解：由题得f′（x）=x−33x，令f′（x）＞0得x＞3；
令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）＝0得x＝3，
故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，
在点x＝3处有极小值1﹣ln3＜0；
又f（1）=13＞0，f（e）=e3−1＜0，f（1e）=13e+1＞0，
故选：D．
3．已知定义在R上的奇函数f（x），满足当x＞0时f（x）=12x2﹣xlnx，则关于x的方程f（x）＝a满足（　　）
A．对任意a∈R，恰有一解
B．对任意a∈R，恰有两个不同解
C．存在a∈R，有三个不同解
D．存在a∈R，无解
【解答】解：当x＞0时，f（x）=12x2﹣xlnx，f′（x）＝x﹣1﹣lnx，f″（x）＝1−1x
∴0＜x＜1时，f″（x）＜0； x＞1时，f″（x）＞0，
∴f′（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴f′（x）≥f′（1）＝0，∴f（x）在（0，+∞）上递增，
又x大于0趋近于0时，f（x）也大于0趋近于0；
x趋近于正无穷时，f（x）也趋近于正无穷，
又f（x）为R上的奇函数，其图象关于原点对称，
结合图象知，对任意的a，方程都恰有一解．
故选：A．
题型二.已知零点求参
考点1.参变分离
1．已知函数f（x）＝（x2﹣4x+1）ex﹣a恰有三个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣2e3，0） B．（−6e，0） C．（−6e，2e3） D．（0，6e）
【解答】解：令g（x）＝（x2﹣4x+1）ex，则g′（x）＝（x2﹣2x﹣3）ex＝0，解得x＝3或x＝﹣1，
即函数g（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上单调递增，在（﹣1，3）上单调递减；
作出g（x）图象如图：
函数f（x）＝（x2﹣4x+1）ex﹣a恰有三个零点等价于g（x）与y＝a图象有3个交点，
由图可知a∈（0，f（﹣1）），即a∈（0，6e），
故选：D．
2．已知函数f(x)=3x+4lnx−x−a在区间（0，2）上至少有一个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，2） B．[2，4ln3﹣2）
C．(2，4ln2−12) D．[2，+∞）
【解答】解：函数f（x）=3x+4lnx﹣x﹣a在区间（0，2）上至少有一个零点，
可得a+1＝4lnx+3x−x在x∈（0，2）有解，
设g（x）＝4lnx+3x−x，导数g′