人教专题6.4 正弦定理、余弦定理的应用 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题6.4 正弦定理、余弦定理的应用
新课程考试要求
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）等.
考向预测
（1）测量距离问题；
（2测量高度问题；
（3）测量角度问题.
（4）主要是利用定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题，关键是弄懂有关术语，认真理解题意.三角形中的应用问题，主要是结合直角三角形、正方形等，考查边角及面积的计算，与平面向量、解析几何、立体几何等结合考查，也有与导数结合考查的情况.
【知识清单】
知识点1．正弦定理
正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B
知识点2．余弦定理
余弦定理： ， ， .
变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝
知识点3．实际问题中的有关概念
(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．
(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．
(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)
①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．
②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．
③南偏西等其他方向角类似．
　　　
(4)坡度：
①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．
②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．
【考点分类剖析】
考点1 与平面向量、解析几何、立体几何结合
【典例1】（2021·四川成都市·高三三模（文））已知A，是圆上的两个动点，且满足，点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设AB中点为M，则，根据勾股定理，求得，可得M的轨迹方程，化简可得，根据圆外一点到圆上点的最小距离为d-r，即可求得答案.
【详解】
设AB中点为M，则，且，
所以M在以O为圆心，1为半径的圆上，
所以
，
又M的轨迹方程为：，
所以P到M轨迹的圆心的距离，
所以的最小值为d-r=3-1=2，
所以的最小值为.
故选：C
【典例2】（2021·山东省青岛第一中学高一期中）如图所示，为测量山高选择A和另一座山的山顶为测量观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及从点测得，若山高米，则山高等于（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】A
【解析】
在中，可求得AC，根据正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案.
【详解】
因为在中，，，
所以，
在中，，
由正弦定理得：，即，
所以，
在中，，
所以（米）
故选：A
【典例3】（2020·江苏高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
【答案】或0
【解析】
根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】
∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
【变式探究】
1.（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在处（点在水平地面的下方，为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点，两地相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．地测得该仪器在处的俯角为，地测得最高点的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（ ）
A．210米 B．米 C．米 D．420米
【答案】C
【解析】
在中利用余弦定理求出，进而在中可求出，再在中求出，即可得解．
【详解】
设，所以，在中，，，所以，
，即，．
在中，，所以，又在中，，所以
，因此．
故答案为：C．
2.（2021·浙江高二期末）已知、、分别为的三个内角、、的对边，且，点是边上的中点，若，则的面积最