人教专题7.2 等差数列及其前n项和 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题7.2 等差数列及其前n项和
新课程考试要求
1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；
2.了解等差数列与一次函数.
3. 掌握等差数列前 n 项和公式及其应用；
4.会用数列的等差关系解决实际问题.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等.
考向预测
1.利用方程思想进行基本量的计算.
2.等差、等比数列的综合问题.
3.复****中注意:
(1)方程思想在数列计算中的应用;
(2)等差数列的通项公式、前n项和公式的综合应用.
【知识清单】
知识点一．等差数列的有关概念
1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.
2.等差数列的通项公式：；
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.
3.等差中项的概念：
定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .
，，成等差数列.
4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
知识点二．等差数列的前n项和
等差数列的前和的求和公式：.
知识点三．等差数列的相关性质
1.等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.
（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.
（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．
（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列．
2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.
3.,则,.
4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
5.若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
6．等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．
【考点分类剖析】
考点一 ：等差数列的基本运算
【典例1】（2020·全国高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则__________．
【答案】
【解析】
是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
.
故答案为：.
【典例2】（2019·江苏高考真题）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.
【答案】16.
【解析】
由题意可得：，
解得：，则.
【典例3】（2021·上海民办南模中学高三三模）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是___________.
【答案】5
【解析】
若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，公差，从而表示出，根据其单减性，求得最小值.
【详解】
若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差，
故为正整数，关于d单减，
则当时，，当时，，不符；
故的最小值为5，
故答案为：5
【规律方法】
1．活用方程思想和化归思想
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
2.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.
3.等差数列的前n项和公式
若已知首项和末项，则，或等差数列{an}的首项是，公差是，则其前项和公式为.
【变式探究】
1..数列an是等差数列，a1=1，a4=8，则a5=（ ）
A． 16 B． -16 C． 32 D． 313
【答案】D
【解析】
因为a4=8，所以a1+3d=8，
又因为a1=1，所以d=73