人教专题13解析几何 13.2圆的方程 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十三 《解析几何》讲义
13.2 圆的方程
知识梳理.圆的方程
1.圆的方程：
（1）圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．
（2）圆的一般方程：
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
圆心为，半径长为．
2．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ0
Δ0
Δ0
几何观点
dr
dr
dr
（1）圆的切线方程常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
（2）有关弦长问题的2种求法
几何法
直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝2＋d2
代数法
联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝·|x1－x2|＝或|AB|＝·|y1－y2|＝
eq \r((y1＋y2)2－4y1y2)
3．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
圆与圆位置关系问题的解题策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
题型一. 圆的方程、轨迹方程
1．已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则圆C的标准方程为　（x+1）2+（y+2）2＝10　．
【解答】解：根据题意，圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，设圆心的坐标为（2t+3，t），
圆C经过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则（2t+3﹣2）2+（t+3）2＝（2t+3+2）2+（t+5）2，
解可得t＝﹣2，则2t+3＝﹣1，即圆心C的坐标为（﹣1，﹣2），
圆的半径为r，则r2＝|CA|2＝（﹣1﹣2）2+（﹣2+3）2＝10，
故圆C的标准方程为（x+1）2+（y+2）2＝10；
故答案为：（x+1）2+（y+2）2＝10．
2．已知圆C与圆（x﹣1）2+y2＝1关于原点对称，则圆C的方程为（　　）
A．x2+y2＝1 B．x2+（y+1）2＝1
C．x2+（y﹣1）2＝1 D．（x+1）2+y2＝1
【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），半径为1．
点（1，0）关于原点的对称点为（﹣1，0），
则所求圆的方程为（x+1）2+y2＝1．
故选：D．
3．如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|＝2．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
【解答】解：（1）由题意，圆的半径为1+1=2，圆心坐标为（1，2），
∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y−2）2＝2；
4．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点P与两个定点M（1，0），N（4，0）的距离之比为12．
（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；
【解答】解：（Ⅰ）设点P坐标为（x，y），依题意得：|PM||PN|=12，
又M（1，0），N（4，0），
∴2(x−1)2+y2=(x−4)2+y2，
化简得：x2+y2＝4，
则动点P轨迹W方程为x2+y2＝4；
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点B（2，0），C（﹣2，0），设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，且k1k2=−12，记点A的轨迹为E．
（1）求E的方程；
【解答】解：（1）设A（x，y），则k1k2=yx−2⋅yx+2=−12，
整理，得x2+2y2＝4（x≠±2），
即E的方程为x2+2y2＝4（x≠±2）；
6．若AB=2，AC=2BC，则S△ABC的最大值　22　．
【解答】解：设BC＝x，则AC=2x，
根据面积公式得S△ABC=12AB•BCsinB=12×2x×1−cos2B，
又根据余弦定