人教高中数学专题05 圆锥曲线中的定点问题(解析版).docx

专题05 圆锥曲线中的定点问题
一、多选题
1．设A，B是抛物线上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（ ）
A．若，则
B．若，直线AB过定点
C．若，到直线AB的距离不大于1
D．若直线AB过抛物线的焦点F，且，则
【答案】ACD
【分析】
设直线方程为，将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，逐一分析判断得解.
【详解】
B.设直线方程为，，，，，
将直线方程代入抛物线方程，得，
则，，
，，．
于是直线方程为，该直线过定点．故不正确；
C.到直线的距离，即正确；
A.
．正确；
D.由题得,所以，不妨取.
所以，所以直线AB的方程为，所以.
由题得
=.
所以.所以D正确.
故选：ACD．
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力．解题的关键是灵活利用韦达定理和抛物线的定义.
2．设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（ ）
A．为定值 B．直线过抛物线的焦点
C．最小值为16 D．到直线的距离最大值为4
【答案】ACD
【分析】
由抛物线方程及斜率公式即可判断A；设直线方程，结合韦达定理即可判断B；利用韦达定理求得的最小值，即可判断C；由直线过定点可判断D.
【详解】
对于A，因为，所以，
所以，故A正确；
对于B，设直线，代入可得，
所以，即，所以直线过点，
而抛物线的焦点为，故B错误；
对于C，因为，
当时，等号成立，
又直线过点，所以，故C正确；
对于D，因为直线过点，所以到直线的距离最大值为4，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
解决本题的关键是利用抛物线的方程合理化简及韦达定理的应用，细心计算即可得解.
二、单选题
3．已知直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】
由直线恒过点，将问题转化为点在椭圆上或椭圆内，可得选项.
【详解】
因为直线恒过点，为使直线与椭圆恒有公共点，
只需点在椭圆上或椭圆内，所以，即.又，所以且.
故选：D.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于直线恒过的点在椭圆上或椭圆的内部，属于中档题.
三、解答题
4．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点M(2，m)(m＞0)在抛物线上，且|MF|＝2.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点P(x0，y0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l0，证明：过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上.
【答案】（1）x2＝4y；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据抛物线的定义可得m＋＝2，再由2pm＝4，即可求解.
（2）讨论x0＝0或x0≠0，利用导数求出点P处的切线的方程l0，再求出过点F且与切线l0垂直的方程，两方程联立求出交点即可求解.
【详解】
（1）由抛物线的定义可知，|MF|＝m＋＝2，①
又M(2，m)在抛物线上，所以2pm＝4，②
由①②解得p＝2，m＝1，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
（2）证明：①当x0＝0，即点P为原点时，显然符合；
②x0≠0，即点P不在原点时，
由（1）得，x2＝4y，则y′＝x，
所以抛物线在点P处的切线的斜率为x0，
所以抛物线在点P处的切线l0的方程为
y－y0＝x0(x－x0)，
又＝4y0，
所以y－y0＝x0(x－x0)可化为y＝x0x－y0.
又过点F且与切线l0垂直的方程为y－1＝－x.
联立方程得
消去x，得y＝－(y－1)－y0.(*)
因为＝4y0，
所以(*)可化为y＝－yy0，即(y0＋1)y＝0，
由y0＞0，可知y＝0，即垂足必在x轴上.
综上，过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出切线方程以及切线的垂线方程，综合性比较强，考查了计算求解能力.
5．已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2.
（1）求E的方程；
（2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点.
【答案】（1）x2＝4y；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用抛物线的定义与性质求得的值，即可写出抛物线方程；
（2）设点、，由直线的方程和抛物线方程联立，消去，利用韦达定理和、、三点共线，化简整理可得的方程，从而求出直线所过的定点．