人教高中数学专题15 数列构造求解析式必刷100题(解析版).docx

专题15 数列构造求解析式必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．数列中，，，则（　　）
A．32 B．62 C．63 D．64
【答案】C
【分析】
把化成，故可得为等比数列，从而得到的值.
【详解】
数列中，，故，
因为，故，故，
所以，所以为等比数列，公比为，首项为.
所以即，故，故选C.
2．在数列中，，且，则的通项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
依题意可得，即可得到是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；
【详解】
解：∵，∴，
由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即．
故选：A
3．设数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是（ ）
A．4 B．4
C．4 D．4
【答案】D
【分析】
首先证得{nan－(n－1)an－1}为常数列，得到，进而证得数列是以1为首项，5为公差的等差数列，从而求出通项公式，进而求出结果.
【详解】
因为2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，
所以nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan
故数列{nan－(n－1)an－1}为常数列，且，
所以，即，
因此数列是以1为首项，5为公差的等差数列，
所以，因此
所以a20＝.
故选：D．
4．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则通项an可能是（ ）
A．5－3n B．3·2n－1－1
C．5－3n2 D．5·2n－1－3
【答案】D
【分析】
用构造法求通项.
【详解】
设，则，
因为an＋1＝2an＋3，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
，所以
故选：D
5．已知数列满足：，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
对两边取倒数后，可以判断是首项为1，公差为的等差数列，即可求得.
【详解】
由数列满足：，
两边取倒数得：，即，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以，
所以
故选:D
6．已知数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令，由等差数列的性质及通项可得，即可得解.
【详解】
令，则，，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以.
故选：D.
7．已知数列的前项和为，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知得出数列是等比数列，然后可利用数列的奇数项仍然为等比数列，求得和．
【详解】
因为，所以，又，
所以，所以是等比数列，公比为4，首项为3，
则数列也是等比数列，公比为，首项为3．
所以．
故选：A．
8．已知数列满足：，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知关系求得数列是等比数列，由等比数列通项公式可得结论．
【详解】
由题意，
由得，即，所以数列是等比数列，仅比为4，首项为4，
所以．
故选：C．
9．已知数列满足递推关系，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由递推式可得数列为等差数列，根据等差数列的通项公式即可得结果.
【详解】
因为，所以，，
即数列是以2为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
故选：D.
10．已知数列满足：，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
取倒数，可得是以为首项，为公比的等比数列，由此可得结论.
【详解】
∵
∴，
∴ ，
∵
∴是以为首项，为公比的等比数列，
∴，
∴.
故选：B.
11．数列满足，且，若，则的最小值为
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
依题意，得，可判断出数列{2nan}为公差是1的等差数列，进一步可求得21a1=2，即其首项为2，从而可得an=，继而可得答案．
【详解】
∵，即，
∴数列{2nan}为公差是1的等差数列，
又a1=1，
∴21a1=2，即其首项为2，
∴2nan=2+（n﹣1）×1=n+1，
∴an=．
∴a1=1，a2=，a3=，a4=＞，a5==＜=，
∴若，则n的最小值为5，
故选C．
12．已知数列满足，，则满足不等式的（为正整数）的值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】
先求得的通项公式，然后解不等式求得的值.