人教高中数学专题20 函数嵌套问题(解析版).docx

专题20 函数嵌套问题
一、单选题
1．已知函数，则方程的根个数为（       ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【解析】令，即根的个数，
设，所以，即或，解得或，
即或，即或，解得；
或或，无符合题意的解.
综上所述：程的根个数为个.故选：A.
2．已知函数则函数的零点个数为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】作出的图象，如图所示：
则的值域为，求的零点，即求，即，对应方程的根.
设，则，则等价于，如图所示：
有3个交点，则有三个解，
当时，有，解得或，
当时，有，解得或（舍）
故的值分别为，，，则对应解如下图
对应5个交点，分别为点Q，M，K，E，T，
综上所述：的零点个数为个.故选：D
3．已知是定义在上的单调函数，是的导函数，若对都有，则方程的解所在的区间是（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可知，对任意的，都有.
则为定值.设，则.
又由，即.可解得.则，
∴.∴.
令，，
故在上单调递增，又由，.
故的唯一零点在区间之间.则方程的解在区间上.故选:A.
4．已知函数，则函数的零点个数为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】令，当时，且递增，此时，
当时，且递减，此时，
当时，且递增，此时，
当时，且递增，此时，
所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：
由图知：与有两个交点，横坐标、：
当，即时，在、、上各有一个解；
当，即时，在有一个解.
综上，的零点共有4个.选：B
5．已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为，由可得，
所以，关于的方程、共有个不同的实数解.
①先讨论方程的解的个数.
当时，由，可得，
当时，由，可得，
当时，由，可得，
所以，方程只有两解和；
②下面讨论方程的解的个数.
当时，由可得，可得或，
当时，由，可得，此时方程有无数个解，不合乎题意，
当时，由可得，
因为，由题意可得或或，解得或.
因此，实数的取值范围是.故选：B.
6．函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】作出函数的图像如下所示，当，时，，所以时递增，
当时递减，所以当时，
在处取最大值为：（如下图所示平行于直线）；
因为，即，解得或，
当时，观察图像易知此时只有一个交点，即有一个根，
要使关于的方程恰有四个不同的实数根，
则需要与图像有三个不同交点，只需要，即.故选：D.
7．已知函数，若函数与的图象恰有8个不同公共点，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，，
由时，，得单调递减，由时，，得单调递增，
故时，；
当时，，
由时，，得单调递减，
由时，得单调递增，
所以时，有极大值，当时，，
作出的大致图象如图：
函数与的图象恰有8个不同公共点，
即方程有8个不同的根，
令 ，根据其图象，讨论有8解情况如下：令，
当 在有两个解时，满足题意，即 ，解得 ，故选：A.
8．定义在上的函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，则（       ）
A． B． C． D．
【解析】作出函数的图象，如图所示，
令，由图象可知，当时，方程有3个根，
当或时，方程有2个根，
则方程等价于，
因为方程恰有个不同的实数解，
所以等价于方程有两个实数解，或，或，
可得这5个根也关于直线对称，
所以，所以，故选：D
9．设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【解析】画出函数的图象如下图所示，
令，则方程可化为.
由图可知：当时，与有个交点，
要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两个不同实数根，
∴，解得，∴实数的取值范围为.故选：B
10．已知为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】作出的图像如图所示，由的图像可知，
的极大值为，极小值为，
有9个零点，令，结合和的图像可知，
有3个解，分别设为，且，
且每个对应都有3个满足，欲使有9个零点，由图可知：，
且，，，由函数的解析式知：
，，，由图像可知，
，则，解得，得，故选：A.
11．已知函数（且），若函数的零点有5个，则实数a的取值范围为（