人教高中数学专题20 解析几何中的范围、最值和探索性问题（练）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题20 解析几何中的范围、最值和探索性问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练****在平面直角坐标系xOv中，M为双曲线右支上的一个动点，若点M到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（    ）
A．1 B． C．2 D．2
【答案】B
【分析】先求出渐近线方程，利用平行线直接的距离公式即可求解.
【详解】由点M到直线的距离大于m恒成立，可得点M到直线的最近距离大于m.因为双曲线的渐近线为，则与的距离即为最近距离，则，即.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练****已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（    ）．
A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】设，利用两点间的距离公式结合二次函数的性质求解即可
【详解】设，则有，又，
所以
因为，
所以，
所以，当且仅当时取等，
所以的最小值为2，
故选：A
3．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知点是抛物线上任意一点，则点到抛物线的准线和直线的距离之和的最小值为（    ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】点到直线的距离为，到准线的距离为，利用抛物线的定义得，当，和共线时，点到直线和准线的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案．
【详解】解：由抛物线知，焦点，
准线方程为，根据题意作图如下；
点到直线的距离为，
点到的距离为；
由抛物线的定义知：，
所以点到直线和准线的距离之和为，
且点到直线的距离为，
所以点到直线和准线的距离之和最小值为．
故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练****已知圆，若抛物线上存在点，过点作圆的两条切线，切点满足，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可以求出，再利用两点间的距离公式表示出，整理得到关于的一个一元二次方程，利用根的判别式列出关于
的不等式，解不等式即可
【详解】，
设点，则

即 有非负实根

解得
故选：A
二、填空题
5．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知椭圆，，是其左、右焦点，点在椭圆上且满足.若到直线的距离为，则的最小值为______.
【答案】
【分析】由正弦定理可得，则，令，则问题转化为求的最小值，即右焦点到直线的距离，即可得解.
【详解】解：在中由正弦定理，又，
所以，
所以，
令，要求的最小值，即求的最小值，
则，当且仅当垂直直线且在与之间时取等号，
所以.
故答案为：．
6.（2022秋·安徽·高三校联考开学考试）已知抛物线的焦点为，圆，过的直线与交于两点，与 交于 两点，且在同一象限，则的最小值为_____．
【答案】12
【分析】设直线，联立抛物线方程可得到，利用焦半径公式化简，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】抛物线的焦点为以为圆心以3为半径，
由题意可知直线l不与y轴垂直，设直线，联立，
得，．
设，则，
∴，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为12，
故答案为：12
7．（2022·湖南·模拟预测）已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是____________．
【答案】3
【分析】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，由双曲线定义得点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，然后根据双曲线的性质，数量积的运算律求解．
【详解】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则，由双曲线定义可知，点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，即点P的轨迹方程为．，由，
可得．
因为的最小值为，所以的最小值是3．
故答案为：3.
三、解答题
8．（2023·四川成都·统考一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，且为等边三角形．经过焦点的直线与椭圆相交于两点，的周长为8．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积的最大值及此时直线的方程．
【答案】(1)；
(2)最大值3，此时直线的方程为.
【分析】（1）由为等边三角形，得到，由椭圆定义得到的周长为，求出，进而求出，得到椭圆方程；
（2）推理出直线斜率不为0，设出直线，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，表达出
的面积，换元后结合基本不等式求出最大值及此时直线的方程.
【详解】（1）由为等边三角形，，，
故，
，
的周长为，得．
，
椭圆的方程为；
（2）由（1）知，且直线斜率不为0．
设直线．
由消去，得，
显然，
，
由面