人教高中数学专题突破练22　圆锥曲线中的范围、最值、证明问题.docx

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专题突破练22　圆锥曲线中的范围、最值、证明问题
1.(2021·河北唐山一模)已知抛物线E:x2=4y,点P(1,-2),斜率为k(k>0)的直线l过点P,与E相交于不同的两点A,B.
(1)求k的取值范围;
(2)斜率为-k的直线m过点P,与E相交于不同的点C,D,证明:直线AC、直线BD及y轴围成等腰三角形.
2.(2021·山东潍坊三模)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点P(m,2)(m>0)在抛物线C上,且满足|PF|=3.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)过点G(0,4)的直线l与抛物线C交于A,B两点,分别以A,B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q,求△PQG周长的最小值.
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3.(2021·广东深圳一模)设O是坐标原点,以F1,F2为焦点的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为22,以|F1F2|为直径的圆和C恰好有两个交点.
(1)求C的方程;
(2)P是C外的一点,过P的直线l1,l2均与C相切,且l1,l2的斜率之积为m-1≤m≤-12,记u为|PO|的最小值,求u的取值范围.
4.(2021·北京通州一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为22.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P是椭圆C上一点,且在第一象限内,过P作直线交y轴正半轴于A点,交x轴负半轴于B点,与椭圆C的另一个交点为E,且PA=AB,点Q是P关于x轴的对称点,直线QA与椭圆C的另一个交点为F.
①证明:直线AQ,AP的斜率之比为定值;
②求直线EF的斜率的最小值.
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5.(2021·河北唐山三模)在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),B(1,0),C为动点,设△ABC的内切圆分别与边AC,BC,AB相切于P,Q,R,且|CP|=1,记点C的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)不过原点O的直线l与曲线E交于M,N,且直线y=-12x经过MN的中点T,求△OMN的面积的最大值.
6.(2021·河南九师联盟联考)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,短轴的一个端点的坐标为(0,-1).
(1)求椭圆C的方程;
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(2)点F为椭圆C的右焦点,过椭圆C上一点A(x1,y1)(x1y1≠0)的直线l1:x1x+2y1y=2与直线l2:x=2交于点P,直线AF交椭圆C于另一点B,设AB与OP交于点Q.证明:
①∠AFP=π2;
②Q为线段AB的中点.
专题突破练22　圆锥曲线中的范围、最值、证明问题
1.(1)解 由题意设l的方程为y+2=k(x-1),
与x2=4y联立得,x2-4kx+4k+8=0.
由Δ>0得k2-k-2>0,即