人教重难点01七种零点问题（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）.docx

重难点01七种零点问题（核心考点讲与练）
方法技巧
1.转化思想在函数零点问题中的应用
方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
2.判断函数零点个数的常用方法
(1)通过解方程来判断.
(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.
(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.
3.正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数的不等式组，从而可求相应的参数的取值范围.
4.涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
5.函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
6.对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数和外层函数；
（2）确定外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.
能力拓展
题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间
一、单选题
1．（2022·河南河南·三模（理））若实数，，满足，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合对数函数、函数零点存在性定理等知识求得正确答案.
【详解】，
，
对于函数，
在上递增，，
所以存在唯一零点，，使，
所以对于，有，
所以.
故选：A
2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））函数的零点所在的区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据零点存在定理，先判断函数的单调性，再计算函数在端点处的函数值，即可得到答案.
【详解】 ,由对数函数和幂函数的性质可知，
函数在时为单调增函数，
， ，
， ，
因为在内是递增，故 ，
函数是连续函数，由零点判断定理知，的零点在区间内，
故选：B．
3．（2022·北京密云·高三期末）心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中A表示需要记忆的量，表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min内该学生记忆20个单词．则记忆率所在区间为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据题意解方程，解出，在和端点值比较大小，由函数单调性和函数连续得到结果.
【详解】将代入，解得：，其中单调递减，而，，而在上单调递减，所以，结合单调性可知，即，而，其中为连续函数，故记忆率所在区间为.
故选：A
4．（2022·河南焦作·一模（理））设函数的零点为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理进行求解.
【详解】易知在R上单调递增且连续．由于，，，当时，，所以．
故选：B
5．（2021·江苏·泰州中学高三阶段练****已知，函数的零点为，的极小值点为，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出的值，利用零点存在定理得出，然后比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出结论.
【详解】因为的定义域为，，则函数在其定义域上为增函数，
，则，则，
因为，由零点存在定理可知，
由可得，.
当或时，；当时，.
所以，.
因为，所以，，故.
故选：A.
6．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））函数的零点所在的区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依据函数零点存在定理去判断的零点所在的区间即可.
【详解】为上的递增函数，
，
，
，
则函数的零点所在的区间为
故选：B
二、多选题
7．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）函数在区间的最小值为，且在区间
唯一的极大值点．则下列说法正确的有（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由题可得，由可知，，进而可求，然后再证明即得；再利用数形结合可得在上存在唯一的零点，利用零点存在定理及三角函数的性质即得.
【详解】∵，
∴，
又函数在区间的最小值为，
∴函