人教专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 2022年高考数学一轮复习讲练测（练）解析版.docx

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
练基础
1．（浙江高考真题）已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ）
A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0
【答案】A
【解析】
由已知得f (x)的图象的对称轴为x＝2且f (x)先减后增，可得选项.
【详解】
由f (0)＝f （4），得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，
又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x)先减后增，于是a>0，
故选：A.
2．（2021·全国高三专题练****文））已知函数，则错误的是（ ）
A．的图象关于轴对称 B．方程的解的个数为2
C．在上单调递增 D．的最小值为
【答案】B
【解析】
结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断，令，求出方程的解的个数，判断B，令，，从而判断C，D即可．
【详解】
定义域为，显然关于原点对称，
又，
所以是偶函数，关于轴对称，故选项A正确.
令即，
解得：，1，，函数有3个零点，故B错误；
令，，时，
函数，都为递增函数，故在递增，故C正确；
由时，取得最小值，故的最小值是，故D正确．
故选：B．
3．（2021·北京高三其他模拟）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系.
【详解】
；；
易知集合是的真子集，故是充分不必要条件.
故选：A.
4．（2021·全国高三月考）已知函数，则“”是“方程有两个不同实数解且方程恰有两个不同实数解”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
根据二次函数的图象与性质，求得，反之若有两个正根，当，得到方程恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为，
要使得方程有两个不同实数，只需，
要使得方程恰有两个不同实数解，设两解分别为，且，
则满足，
因为时，，所以，所以必要性成立；
反之，设，即，
当有两个正根，且满足，若，
此时方程恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.
所以“”是“方程有两个不同实数解且方程恰有两个不同实数解”的必要不充分条件.
故选：C.
5．（2021·全国高三专题练****若当x∈(1，2)时，函数y=(x-1)2的图象始终在函数y=logax的图象的下方，则实数a的取值范围是___________.
【答案】1<a≤2.
【解析】
在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果.
【详解】
如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y=(x-1)2和y=logax的图象.
由于当x∈(1，2)时，函数y=(x-1)2的图象恒在函数y=logax的图象的下方，
则，解得1<a≤2.
故答案为：1<a≤2.
6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
∵不等式对任意恒成立，
∴函数的图象始终在轴下方，
∴，解得，
故答案为：．
7.（2021·全国高三专题练****已知当时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
先换元3x＝t，，使f（t）＝t2－mt＋m＋1>0在上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可.
【详解】
令3x＝t，当时，，则f（t）＝t2－mt＋m＋1>0在上恒成立，即函数在的图象在x轴的上方，而判别式，
故或，解得.
故答案为：.
8．（2021·浙江高一期末）已知函数，若任意、且，都有，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
本题首先可令，将转化为，然后令，通过函数单调性的定义得出函数在上是增函数，最后分为、两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】
因为任意、且，都有，
所以令，即，，
令，则函数在上是增函数，
若，则，显然不成立；
若，则，解得，
综合所述，实数a的取值范围是，
故答案为：.
9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数，若，且，则的最大值为________．
【