人教专题03 导数及其应用-2022年高考真题和模拟题数学分专题训练(教师版含解析).docx

专题03 导数及其应用
1．【2022年全国甲卷】当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值-2，则f'(2)=(       )
A．-1 B．-12 C．12 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知f1=-2，f'1=0即可解得a,b，再根据f'x即可解出．
【详解】
因为函数fx定义域为0,+∞，所以依题可知，f1=-2，f'1=0，而f'x=ax-bx2，所以b=-2,a-b=0，即a=-2,b=-2，所以f'x=-2x+2x2，因此函数fx在0,1上递增，在1,+∞上递减，x=1时取最大值，满足题意，即有f'2=-1+12=-12．
故选：B.
2．【2022年全国甲卷】已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则(       )
A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b
【答案】A
【解析】
【分析】
由cb=4tan14结合三角函数的性质可得c>b；构造函数f(x)=cosx+12x2-1,x∈(0,+∞)，利用导数可得b>a，即可得解.
【详解】
因为cb=4tan14,因为当x∈(0,π2),sinx<x<tanx
所以tan14>14,即cb>1,所以c>b；
设f(x)=cosx+12x2-1,x∈(0,+∞)，
f'(x)=-sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，
则f14>f(0)=0,所以cos14-3132>0，
所以b>a,所以c>b>a，
故选：A
3．【2022年新高考1卷】设a=0.1e0.1,b=19，c=-ln0.9，则(       )
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数f(x)=ln(1+x)-x， 导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小.
【详解】
设f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)，因为f'(x)=11+x-1=-x1+x，
当x∈(-1,0)时，f'(x)>0，当x∈(0,+∞)时f'(x)<0，
所以函数f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)单调递减，在(-1,0)上单调递增，
所以f(19)<f(0)=0，所以ln109-19<0，故19>ln109=-ln0.9，即b>c，
所以f(-110)<f(0)=0，所以ln910+110<0，故910<e-110，所以110e110<19，
故a<b，
设g(x)=xex+ln(1-x)(0<x<1)，则g'(x)=x+1ex+1x-1=x2-1ex+1x-1,
令h(x)=ex(x2-1)+1，h'(x)=ex(x2+2x-1)，
当0<x<2-1时，h'(x)<0，函数h(x)=ex(x2-1)+1单调递减，
当2-1<x<1时，h'(x)>0，函数h(x)=ex(x2-1)+1单调递增，
又h(0)=0，
所以当0<x<2-1时，h(x)<0，
所以当0<x<2-1时，g'(x)>0，函数g(x)=xex+ln(1-x)单调递增，
所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>-ln0.9，所以a>c
故选：C.
4．【2022年新高考1卷】(多选)已知函数f(x)=x3-x+1，则(       )
A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用极值点的定义可判断A，结合f(x)的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】
由题，f'x=3x2-1，令f'x>0得x>33或x<-33，
令f'(x)<0得-33<x<33，
所以f(x)在(-33,33)上单调递减，在(-∞,-33)，(33,+∞)上单调递增，
所以x=±33是极值点，故A正确；
因f(-33)=1+239>0，f(33)=1-239>0，f-2=-5<0，
所以，函数fx在-∞,-33上有一个零点，
当x≥33时，fx≥f33>0，即函数fx在33,+∞上无零点，
综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；
令h(x)=x3-x，该函数的定义域为R，h-x=-x3--x=-x3+x=-hx，
则h(x)是奇函数，(0,0)是h(x)的对称中心，
将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，
所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；
令f'x=3x2-1=2，可得x=±1，又f(1)=f-1=1，
当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-1，当切点为(-1,1