人教专题04 立体几何-2022年高考真题和模拟题数学分专题训练(教师版含解析).docx

专题04 立体几何
1．【2022年全国甲卷】如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为(       )
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.
【详解】
由三视图还原几何体，如图，
则该直四棱柱的体积V=2+42×2×2=12.
故选：B.
2．【2022年全国甲卷】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(       )
A．AB=2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30°
C．AC=CB1 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
【详解】
如图所示：
不妨设AB=a,AD=b,AA1=c，依题以及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为∠B1DB，B1D与平面AA1B1B所成角为∠DB1A，所以sin30∘=cB1D=bB1D，即b=c，B1D=2c=a2+b2+c2，解得a=2c．
对于A，AB=a，AD=b，AB=2AD，A错误；
对于B，过B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为∠BAE，因为tan∠BAE=ca=22，所以∠BAE≠30∘，B错误；
对于C，AC=a2+b2=3c，CB1=b2+c2=2c，AC≠CB1，C错误；
对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为∠DB1C，sin∠DB1C=CDB1D=a2c=22，而0<∠DB1C<90∘，所以∠DB1C=45∘．D正确．
故选：D．
3．【2022年全国甲卷】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲S乙=2，则V甲V乙=(       )
A．5 B．22 C．10 D．5104
【答案】C
【解析】
【分析】
设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，根据圆锥的侧面积公式可得r1=2r2，再结合圆心角之和可将r1,r2分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】
解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，
则S甲S乙=πr1lπr2l=r1r2=2，
所以r1=2r2，
又2πr1l+2πr2l=2π，
则r1+r2l=1，
所以r1=23l,r2=13l，
所以甲圆锥的高h1=l2-49l2=53l，
乙圆锥的高h2=l2-19l2=223l，
所以V甲V乙=13πr12h113πr22h2=49l2×53l19l2×223l=10.
故选：C.
4．【2022年全国乙卷】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则(       )
A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF//平面A1AC D．平面B1EF//平面A1C1D
【答案】A
【解析】
【分析】
证明EF⊥平面BDD1，即可判断A；如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，分别求出平面B1EF，A1BD，A1C1D的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
【详解】
解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，
又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1，
因为E,F分别为AB,BC的中点，
所以EF∥AC，所以EF⊥BD，
又BD∩DD1=D，
所以EF⊥平面BDD1，
又EF⊂平面B1EF，
所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确；
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，
则B12,2,2,E2,1,0,F1,2,0,B2,2,0,A12,0,2,A2,0,0,C0,2,0，
C10,2,2，
则EF=-1,1,0,EB1=0,1,2，DB=2,2,0,DA1=2,0,2，
AA1=0,0,2,AC=-2,2,0,A1C1=-2,2,0,
设平面B1EF的法向量为m=x1,y1,z1，
则有m⋅EF=-x1+y1=0m⋅EB1=y1+2z1=0，可取m=2,2,-1，
同理可得平面A1BD的法向量为n1=1,-1,-1，
平面A1AC的法向量为n2=1,1,0，
平面A1C1D的法向量为n3=1,1,-1，
则m⋅n1=2-2+1=1≠0，
所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；
因为m与n2