人教专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义
新课程考试要求
1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义.
2. 会用基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（限于形如)的导数）.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象（例11）、逻辑推理（例1）、数学建模、直观想象（例5）、数学运算（多例）、数据分析等.
考向预测
（1）导数的运算将依然以工具的形式考查；
（2）单独考查导数的运算题目极少.对导数的运算的考查，主要通过考查导数的几何意义、导数的应用来体现.
（3）对导数的几何意义的考查，主要有选择题、填空题，也有作为解答题的第一问.常见的命题角度有：
①求切线斜率、倾斜角、切线方程．
②确定切点坐标问题．
③已知切线问题求参数．
④切线的综合应用．
【知识清单】
知识点1．导数的概念
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.
2．函数f(x)的导函数
称函数为f(x)的导函数．
知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1. 基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cosx
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax
f′(x)＝axlna
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
2．导数的运算法则
（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
（3）(g(x)≠0)．
(4) 复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
知识点3．函数在处的导数几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
【考点分类剖析】
考点一 导数的计算
【典例1】（2021·河北石家庄市·高三二模）已知函数，其中，，，，为的导函数．若存在使得成立，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
令，，可将化为，由此确定的范围；根据能成立的方程可构造不等式组，解不等式组可求得，从而利用三角函数值域的求解方法可求得所求最大值.
【详解】
，可设，，
，
，
存在使得，，，
，，
当时，取得最大值.
故答案为：.
【典例2】（2021·内蒙古包头市·高三二模（文））设函数，若，则______．
【答案】2
【解析】
先对求导，将代入即可求解.
【详解】
由可得，，所以，解得.
故答案为：2.
【规律方法】
1.求函数导数的一般原则如下：
(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；
(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；
(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.
2.复合函数的求导方法
求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；
②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；
③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；
④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.
【变式探究】
1. （2021·四川攀枝花市·高三一模（文））已知函数，则（ ）
A． B． C．6 D．14
【答案】C
【解析】
求导，代入，求得，然后将代入原函数求得函数值.
【详解】
，则，
则，
故选：C
2．（2021·江苏常州市·高三一模）已知函数的导函数为，则__________；若，则__________．
【答案】1；
【解析】
求出，令可求；利用对数的运算性质对变形可求.
【详解】
解：，
，
令，得；
，
，
.
故答案为：1；.
【总结提升】
(1)若函数