人教专题05 平面解析几何-2022年高考真题和模拟题数学分专题训练(教师版含解析).docx

专题05 平面解析几何
1．【2022年全国甲卷】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，A1,A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1→⋅BA2→=-1，则C的方程为(       )
A．x218+y216=1 B．x29+y28=1 C．x23+y22=1 D．x22+y2=1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据离心率及BA1⋅BA2=-1，解得关于a2,b2的等量关系式，即可得解.
【详解】
解：因为离心率e=ca=1-b2a2=13，解得b2a2=89，b2=89a2，
A1,A2分别为C的左右顶点，则A1(-a,0),A2(a,0)，
B为上顶点，所以B(0,b).
所以BA1=(-a,-b),BA2=(a,-b)，因为BA1⋅BA2=-1
所以-a2+b2=-1，将b2=89a2代入，解得a2=9,b2=8，
故椭圆的方程为x29+y28=1.
故选：B.
2．【2022年全国甲卷】椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为14，则C的离心率为(       )
A．32 B．22 C．12 D．13
【答案】A
【解析】
【分析】
设Px1,y1，则Q-x1,y1，根据斜率公式结合题意可得y12-x12+a2=14，再根据x12a2+y12b2=1，将y1用x1表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】
解：A-a,0，
设Px1,y1，则Q-x1,y1，
则kAP=y1x1+a,kAQ=y1-x1+a，
故kAP⋅kAQ=y1x1+a⋅y1-x1+a=y12-x12+a2=14，
又x12a2+y12b2=1，则y12=b2a2-x12a2，
所以b2a2-x12a2-x12+a2=14，即b2a2=14，
所以椭圆C的离心率e=ca=1-b2a2=32.
故选：A.
3．【2022年全国乙卷】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若AF=BF，则AB=(       )
A．2 B．22 C．3 D．32
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.
【详解】
由题意得，F1,0，则AF=BF=2，
即点A到准线x=-1的距离为2，所以点A的横坐标为-1+2=1，
不妨设点A在x轴上方，代入得，A1,2，
所以AB=3-12+0-22=22.
故选：B
4．【2022年全国乙卷】(多选)双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos∠F1NF2=35，则C的离心率为(       )
A．52 B．32 C．132 D．172
【答案】AC
【解析】
【分析】
依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到2b=3a或a=2b，即可得解，注意就M,N在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】
解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，
若M,N分别在左右支，
因为OG⊥NF1，且cos∠F1NF2=35>0，所以N在双曲线的右支，
又OG=a，OF1=c，GF1=b，
设∠F1NF2=α，∠F2F1N=β，
在△F1NF2中，有NF2sinβ=NF1sinα+β=2csinα，
故NF1-NF2sinα+β-sinβ=2csinα即asinα+β-sinβ=csinα，
所以asinαcosβ+cosαsinβ-sinβ=csinα，
而cosα=35，sinβ=ac，cosβ=bc，故sinα=45，
代入整理得到2b=3a，即ba=32，
所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=132
若M,N均在左支上，
同理有NF2sinβ=NF1sinα+β=2csinα，其中β为钝角，故cosβ=-bc，
故NF2-NF1sinβ-sinα+β=2csinα即asinβ-sinαcosβ-cosαsinβ=csinα，
代入cosα=35，sinβ=ac，sinα=45，整理得到：a4b+2a=14，
故a=2b，故e=1+ba2=52，
故选：AC.
5．【2022年北京】若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴，则a=(       )
A．12 B．-12 C．1 D．-1
【答案】A
【解析】
【分析】
若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求