人教专题7.1 数列的概念与简单表示 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题7.1 数列的概念与简单表示
新课程考试要求
1. 了解数列的概念和表示方法 (列表、图象、公式).
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、数学运算（多例）等.
考向预测
1．利用an与Sn的关系求通项,递推数列求通项.
2．数列的周期性、单调性及最值.
3．关于数列的概念问题，虽然在高考中很少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，多与等差数列、等比数列及数列的求和等综合考查.
4.复****中要特别注意:
(1)构造特殊数列求通项；
(2)利用数列的单调性求参数范围或数列项的最值.
【知识清单】
知识点一．数列的概念与通项公式
1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列.
对数列概念的理解
(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
2．数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
其中n∈N＋
递减数列
常数列
按其他标准分类
有界数列
存在正数，使
摆动数列
的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…
3．数列是一种特殊的函数
数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.
4.数列的通项公式：
如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.
5.数列的前项和和通项的关系：.
知识点二．数列的性质
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．
数列的性质主要指：
1.数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；
2.数列的周期性.
【考点分类剖析】
考点一 ：由数列的前几项求数列的通项公式
【典例1】（2021·海南高二期末）已知数列的前四项依次为，，，，则的通项公式可能是___________.
【答案】(或其他合理)
【解析】
由四项找出共同的规律，可得通项公式
【详解】
解：，，，，故.
故答案为：
【规律方法】
1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.
3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学****中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.
【变式探究】
若数列的前4项分别是12,     −13,     14,    −15，则此数列的一个通项公式为（ ）
A． (−1)n−1n B． (−1)nn C． (−1)n+1n+1 D． (−1)nn+1
【答案】C
【解析】
由数列的前4项分别是12, −13,  14, −15，
可知：第n项的符号为（−1）n+1，其绝对值为1n+1．
因此此数列的一个通项公式为an=(−1)n+1n+1．
故选：C．
【总结提升】
根据数列的前几项求其通项公式，一般通项公式不唯一，我们常常取其形式上较简便的一个即可．解答时，主要靠观察、分析、比较、归纳、联想、转化等方法．观察时特别注意：①各项的符号特征；②分式的分子、分母特征；③相邻项的变化规律(绝对值的增减)．处理方法常用的有：①化异为同(统一分子、或分母的结构形式)；
②拆项；③用(－1)n