人教专题14计数原理 14.2二项式定理 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十四 《计数原理》讲义
14.2 二项式定理
知识梳理.二项式定理
1.二项式定理的概念:
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.
2.展开式中二项式系数的性质:
(1)
(2)
(3)当时，当时，
(4)
3．赋值法求展开式系数和
二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
4．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．
题型一. 二项式展开后的某项
1．二项式(2x−13x)8的展开式中，常数项为　112　（用数字作答）
【解答】解：依题意，二项式(2x−13x)8的展开式的第k+1项为：Tk+1=C8k(2x)8−k⋅(−1)k⋅(x−13)k=C8k•(−1)k⋅28−k⋅x8−43k，
由8−43k=0解得，k＝6，
所以常数项为：(−1)6×22×C86=112，
故答案为：112．
2．二项式(x+13x)40的展开式中，其中是有理项的项数共有（　　）
A．4项 B．7项 C．5项 D．6项
【解答】解：二项式(x+13x)40的展开式的通项为
Tr+1=C40r⋅(x)40−r⋅(13x)r=C40r⋅x120−5r6．
∵0≤r≤40，且r∈N，
∴当r＝0、6、12、18、24、30、36时，120−5r6∈Z．
∴二项式(x+13x)40的展开式中，其中是有理项的项数共有7项．
故选：B．
3．(x−x2)8展开式中二项式系数最大的项为　358x6　．（求出具体的项）
【解答】解：当n＝8时，展开式中二项式系数最大的项是T5，
∴T5的项
＝C84（ x）4（−x2）4
=358x6．
展开式中二项式系数最大的项是358x6．
故答案为358x6
4．（xx+1x4）n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是第　4　项．
【解答】解：由题意可得，∁n2﹣∁n1＝44，可求n＝11，故（xx+1x4）n的展开式的通项公式为Tr+1=C11r•x33−11r2，
令 33−11r2=0，求得r＝3，可得展开式中的常数项是第第四项，
故答案为：4．
题型二. 多项展开式中项的问题
1．（1﹣x）（1+x+x2）2展开式中，x2项的系数为　1　．
【解答】解：（1﹣x）（1+x+x2）2＝（1﹣x3）（1+x+x2），
故x2项的系数为1，
故答案为：1．
2．（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（　　）
A．10