人教高中数学专题3-5 利用导函数解决恒（能）成立问题(解析版）.docx

专题3-5 利用导函数解决恒（能）成立问题
目录
1
题型一：分离变量+最值法 1
题型二：分类讨论法 9
题型三：同构法 16
题型四：最值定位法解决双参不等式问题 23
32
一、单选题 32
二、多选题 38
三、解答题 41
题型一：分离变量+最值法
【典例分析】
例题1．（2023·全国·高三专题练****若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（  ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，
则，令
若时，
若时，
所以可知函数在递减，在递增
所以
由对任意的实数恒成立
所以
故选：A
例题2．（2022·全国·高三阶段练****文））设是定义在上的连续函数的导函数，且.当时，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，则.
因为，，所以恒成立.则函数在上单调递增.
当时，，不等式可化为，即恒成立.
又函数在上单调递增，
所以不等式在上恒成立，
所以在上恒成立.
令，则.
令，得.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递減.
所以，
所以，故所求实数的取值范固为.
故选:A.
例题3．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知函数.
(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解:由题知在上恒成立,
即,
,
只需即可,
即,
记,
,
,
,
,
在单调递减,
;
（2）由题知,在上单调递增,
即在上恒成立,
即恒成立,
,只需恒成立,
即,
记,
,
,,
在单调递增,
,
只需即可,
综上:.
【提分秘籍】
①若)对恒成立，则只需；
②若对恒成立，则只需．
③，使得能成立；
④，使得能成立．
【变式演练】
1．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二期中（文））若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得：
在上恒成立，
整理可得：，
函数在上递减，
所以，
所以，
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练****若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】,
当时，，当时，，
的递减区间是，递增区间是，
所以取得极小值，也是最小值，
，
不等式对任意实数x都成立，
所以.
故选:D.
3．（多选）（2022·海南·模拟预测）若时，关于的不等式恒成立，则实数的值可以为（    ）
（附：）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】由题意知：当时，恒成立；
令，则，
令，则，
当时，恒成立，即恒成立，
在上单调递增，，
，即实数的取值范围为.
，，，.
故选：BD.
4．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练****若不等式（其中是自然对数的底数）对
恒成立，则实数的取值范围为________
【答案】
【详解】，，令，，求导得：，
当时，当时，，即函数在上递减，在上递增，
因此当时，，则，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
5．（2022·浙江宁波·一模）已知函数，．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：当时，，
所以，，
所以，
故所求切线方程为．
（2）解：因为在上恒成立，
令，，则，
令，则，
所以在上单调递减，
因为，，
由零点存在定理知，存在唯一，使，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
从而．
6．（2022·全国·高三专题练****已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若在区间，内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1）时，，，
曲线在点，（1）处的切线斜率:（1），
故曲线在点，（1）处的切线方程为：，
所求切线方程为：；
（2），
①当即时，，在，上为单调增函数，
此时，（1），解得：，与矛盾，不符合题意，
②当即时，，，的变化如下：
，
，
0
递减
极小值
递增
此时，，解得：
，与矛盾，不符合题意，
③当即时，，在，上为单调减函数
，解得：，又，，
综上：实