人教高中数学专题04 平面向量的线性运算与数量积（解析版）.docx

专题04 平面向量的线性运算与数量积
1、【2022年全国乙卷】已知向量a=(2,1)，b=(−2,4)，则a−b（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为a−b=2,1−−2,4=4,−3，所以a−b=42+−32=5.
故选：D
2．【2022年全国乙卷】已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a−2b|=3，则a⋅b=（       ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
【答案】C
【解析】：∵|a−2b|2=|a|2−4a⋅b+4b2，
又∵|a|=1,|b|=3,|a−2b|=3,
∴9=1−4a⋅b+4×3=13−4a⋅b，
∴a⋅b=1
故选：C.
3、【2022年新高考1卷】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=n，则CB=（       ）
A．3m−2n B．−2m+3n C．3m+2n D．2m+3n
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即CD−CB=2CA−CD，
所以CB= 3CD−2CA=3n−2m =−2m+3n．
故选：B．
4．【2022年新高考2卷】已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若<a,c>=<b,c>，则t=（       ）
A．−6 B．−5 C．5 D．6
【答案】C
【解析】：c=3+t,4,cosa,c=cosb,c,即9+3t+165c=3+tc,解得t=5,
故选：C
5、【2022年北京】在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PA⋅PB的取值范围是（       ）
A．[−5,3] B．[−3,5] C．[−6,4] D．[−4,6]
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则C0,0，A3,0，B0,4，
因为PC=1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，
设Pcosθ,sinθ，θ∈0,2π，
所以PA=3−cosθ,−sinθ，PB=−cosθ,4−sinθ，
所以PA⋅PB=−cosθ×3−cosθ+4−sinθ×−sinθ
=cos2θ−3cosθ−4sinθ+sin2θ=1−3cosθ−4sinθ
=1−5sinθ+φ，其中sinφ=35，cosφ=45，
因为−1≤sinθ+φ≤1，所以−4≤1−5sinθ+φ≤6，即PA⋅PB∈−4,6；
故选：D
6、【2022年全国甲卷】已知向量a=(m,3),b=(1,m+1)．若a⊥b，则m=______________．
【答案】−34##−0.75
【解析】由题意知：a⋅b=m+3(m+1)=0，解得m=−34.
故答案为：−34.
7．【2022年全国甲卷】设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=3，则2a+b⋅b=_________．
【答案】11
【解析】：设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为13，即cosθ=13，
又a=1，b=3，所以a⋅b=a⋅bcosθ=1×3×13=1，
所以2a+b⋅b=2a⋅b+b2=2a⋅b+b2=2×1+32=11．
故答案为：11．
8．【2022年浙江】设点P在单位圆的内接正八边形A1A2⋯A8的边A1A2上，则PA12+PA22+⋯+PA82的取值范围是_______．
【答案】[12+22,16]
【解析】以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则A1(0,1),A2(22,22),A3(1,0),A4(22,−22),A5(0,−1),A6(−22,−22),A7(−1,0),A8(−22,22)，设P(x,y),于是PA12+PA22+⋯+PA82=8(x2+y2)+8，
因为cos22.5∘≤|OP|≤1，所以1+cos45∘2≤x2+y2≤1，故PA12+PA22+⋯+PA82的取值范围是[12+22,16].
故答案为：[12+22,16]．
8、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以
，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
9、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量，若，则_________．
【答案】
【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
10、（2021年全国高