人教高中数学专题06 基本不等式及其应用（解析版）.docx

专题06 基本不等式及其应用
1、【2022年新高考2卷】若x，y满足x2+y2−xy=1，则（       ）
A．x+y≤1 B．x+y≥−2
C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1
【答案】BC
【解析】因为ab≤a+b22≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y2−xy=1可变形为，x+y2−1=3xy≤3x+y22，解得−2≤x+y≤2，当且仅当x=y=−1时，x+y=−2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；
由x2+y2−xy=1可变形为x2+y2−1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确；
因为x2+y2−xy=1变形可得x−y22+34y2=1，设x−y2=cosθ,32y=sinθ，所以x=cosθ+13sinθ,y=23sinθ，因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+23sinθcosθ=1+13sin2θ−13cos2θ+13
=43+23sin2θ−π6∈23,2，所以当x=33,y=−33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．
故选：BC．
2\（2021年新高考1卷）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
【答案】C
【解析】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
3、（2020全国3文12）已知函数，则( )
A． 的最小值为2 B． 的图像关于轴对称
C． 的图像关于直线对称 D． 的图像关于直线对称
【答案】D
【解析】由题意得．对于A，当时，，当且仅当时取等号；当时，，当且仅当时取等号，所以A错误．对于B，，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误．对于C，，，则，的图象不关于直线对称，所以C错误．对于D，，，所以，的图象关于直线对称，所以D正确．故选D．
4、（2020山东）已知，，且，则 （ ）
A． B． C． D ．
【答案】ABD
【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确，故选：ABD．
5、（2020上海13）下列不等式恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由基本不等式可知，故A不正确；，即恒成立，故B正确；当时，不等式不成立，故C不正确；当时，不等式不成立，故D不正确，故选B．
6、（2020江苏12）已知，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】，故，
当且仅当，即，时，取等号．∴．
7、（2020天津14）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】，，
，当且仅当=4时取等号，结合，解得，或时，等号成立，故答案为：．
8、（2019天津理13）设，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】 ，，，
则；
由基本不等式，（当且仅当时，即，且时，即或时，等号成立）．
故的最小值为．
题组一 运用基本不等式研究大小
1-1、（2022·广东·铁一中学高三期末）（多选题）若．且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】，当且仅当时等号成立，
则或，
则，
即AB错误，D正确.
对于C选项，，C选项正确.
故选：CD
1-2、（2022·湖南常德·高三期末）（多选题）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】∵，，，
∴，当且仅当时取等号，故A错误；
由，当且仅当，即时取等号，故B正确；
因为，当且仅当时取等号，故C错误；
因为，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：BD.
1-3、（2022·湖北襄阳·高三期末）（多选题）已知，当时，，则（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为，且，可得，从而得到，
因为，所以，
所以，
而，（，等号不成立）
所以.
从而可知选项ACD正确.
故选：ACD
1-4、（2022·山东德州·高三期末）（多选题）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为16
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】由可得，，（当且仅当时，取等号），故A正确；
（当且仅当时，取等号），即，故D正确；
（当且仅当时，取等号），（当且仅当时，取等号），即，故B错误；
，即（当且仅当时，取等