人教高中数学专题07 函数单调性、极值、最值综合运用(解析版).docx

专题07 函数单调性、极值、最值综合运用
一、单选题
1．设函数，若函数无最小值，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】由得，
令,得，令，得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极小值，为，
因为无最小值，所以，解得.故选：A
2．已知函数，则（       ）
A．函数在上单调递增 B．函数在上有两个零点
C．函数有极大值16 D．函数有最小值
【解析】，由，得或，由，得，
所以在上递增，在上递减，在上递增，
所以极大值为，极小值为，所以有3个零点，且无最小值.
故选：C
3．如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（       ）
A．在上是增函数 B．当时，取得最小值
C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数
【解析】根据图象知：
当，时，函数单调递减；
当，时，函数单调递增.
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；
故当时，取得极小值，选项C不正确；当时，不是取得最小值，选项B不正确；
故选：D.
4．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】，，
当时，单调递减；当或时，单调递增，
在、处取得极值.，
，∴函数在处取得最小值，
∵函数在上存在最小值，∴，解得.故选：A.
5．函数有极小值，且极小值为0，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由，可得，
因为有极小值，记为，则，即，
又由，所以，
即，所以.设，
当时，，所以在上单调递增，
当时，可得，所以的最小值为.故选：B.
6．函数在上的最大值为（       ）
A． B． C．2 D．
【解析】由题意，，
∴当，x在和上，即单调增；
当，x在上，即单调减；
∴有极大值，有极小值，而端点值，，则，∴在上的最大值为.故选：D.
7．已知函数在内存在最小值，则（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为，所以，
因为在上存在最小值，所以，解得.故选：C.
8．若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】首先时，不等式为，恒成立，即整数2是不等式的一个解，则由题意1或3是不等式的另一个整数解．
若1不是不等式的解，则，，此时不等式化为：
，易知函数在上是增函数，则大于2的所有整数都是原不等式的解，不合题意．
所以1是原不等式的解，大于3的所有整数不是原不等式的解，，
所以时，不等式恒成立，即在上恒成立，
设，
则，时，，，单调递增，
所以，所以．综上的取值范围是．故选：C．
9．已知函数，若是在上唯一的极值点，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】函数，定义域，
所以，
因为是在上唯一的极值点，所以是的唯一变号零点，
令，则在无变号零点，，
①时，恒成立，在上单调递增，所以，
所以无零点，满足题意；
②时，的解为，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以的最小值为，
要是在无变号零点，所以，解得，所以，
综上所述满足题目要求的的范围为.故选：D.
10．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】令，则，问题转化为恒成立.
令，则，
因为，所以.令，则，
所以在上单调递增，又，，
所以存在，使得，即，所以当时，，即，
当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，所以，，
所以，所以，解得.故选：C
二、多选题
11．已知函数，则下列结论正确的是（       ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则t的最小值为2
D．当时，方程有且只有两个实根
【解析】，令，解得或，
当或时，，故函数在，上单调递减，当时，，故函数在上单调递增，且函数有极小值，有极大值，当趋近负无穷大时，趋近正无穷大，当趋近正无穷大时，趋近于零，故作函数草图如下，
由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．故选：BD．
12．函数，其图象在坐标原点处与相切，则（       ）
A．
B．函数没有最小值
C．函数存在两个极值
D．函数存在两个零点
【解析】由题意可得，且，所以，
所以，
，令，则，
设，，两个函数只有一个交点，
设交点的横坐标为：，则，
当时，，函数是减函数，