人教高中数学专题09 导数新定义问题(解析版).docx

专题09 导数新定义问题
一、单选题
1．给出以下新定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数．以下四个函数在定义域上是凸函数的是（       ）
A． B． C． D．
【解析】对于A选项，，则，不是凸函数；
对于B选项，，则，不是凸函数；
对于C选项，，则在R上不恒成立，不是凸函数；
对于D选项，，则，在定义域上恒成立，是凸函数.
故选：D.
2．对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（       ）
A．0 B．1 C． D．
【解析】依题意得，，，令，解得x＝1，
∵，∴函数的对称中心为，则，
∵，∴．
故选：A.
3．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则
（       ）
A．0 B． C．1 D．2
【解析】，故选：D
4．定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题意：，
所以分别为的根，即为函数
的零点，可解得；
为单调递增函数，且，所以，
令，解得，或，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，由，，，
，所以，所以.故选：B.
5．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中没有“巧值点”的函数是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A选项，，由可得，解得或，
所以，函数有“巧值点”；
对于B选项，，由可得，其中，
令，其中，则，，
由零点存在定理可知，函数在区间上有零点，
所以，函数有“巧值点”；
对于C选项，，由可得，这与矛盾，
所以，函数没有“巧值点”；
对于D选项，，因为，所以，函数有“巧值点”.
故选：C.
6．定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A选项，，则，由，
即，，因此，存在“自足点”，A满足条件；
对于B选项，，则，由，
可得，其中，令，则，，
所以，函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，B选项满足条件；
对于C选项，，则，其中，
因为，故函数存在“自足点”，C选项满足条件；
对于D选项，，则，
由，可得，
因为，，
所以，，
所以，方程无实解，D选项不满足条件.故选：D.
7．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间
内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（       ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】函数，则，
由，得，即，解得，
所以在，上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.
8．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“阶比增函数”．若函数为“阶比增函数"，则实数的取值范围是（   ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数为“阶比增函数”，
所以函数在上为增函数，所以令，
故在上恒成立，
所以在上恒成立，由于，
所以.故实数的取值范围是。故选：A
二、多选题
9．已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A，由得，
即，，∴该方程无解，
∴函数无“巧值点”，故A符合题意；
对于B，由得，解得，
∴函数有“巧值点”－1，故B不符合题意；
对于C，由得无解，∴函数无“巧值点”，故C符合题意；
对于D，由得，易知函数与的图象在第一象限内有一个交点，
∴方程有一个解，∴函数有“巧值点”，故D不符合题意．
故选：AC．
10．函数在区间，上连续，对，上任意二点与，有时，我们称函数在，上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（       ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”