人教高中数学专题10 导数在函数中的应用（解析版）.docx

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专题10 导数在函数中的应用
【练基础】
一、单选题
1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数，则满足不等式的实数x的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数求导，可知函数在上单调递增，根据单调性可得，进而求出实数x的取值范围.
【详解】由题意，函数，
当时，，在上单调递增；
而，，由可得，
即，易知，
故选：D.
2．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知，，（为自然对数的底数），则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的性质可得，进而可得，然后构造函数，根据导数可得，进而可得，即得.
【详解】因为，所以，
又，，所以，
设，则，由，可得，函数单调递增，
由，可得，函数函数单调递减，
所以，，所以，即，
所以.
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故选：A.
3．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知是偶函数，在(－∞，0)上满足恒成立，则下列不等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题干条件得到时，，故在上单调递减，结合为偶函数，得到在上单调递增，从而判断出大小关系.
【详解】时，即，
∴在上单调递减，又为偶函数，
∴在上单调递增．
∴，
∴.
故选：A．
4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数结合已知得出在没有变号零点，即在没有变号零点，令，通过导数求出其在上的最值，即可得出实数a的取值范围.
【详解】，，
则，
，
，
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函数存在唯一的极值点，且在上有一个变号零点，
在没有变号零点，
即在没有变号零点，
令，，
则，
当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减；
则，
则，
故实数a的取值范围为，
故选：B.
5．（2023·全国·模拟预测）函数恰有3个零点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对函数进行求导，令，借助分析的单调性，极值和最值情况即可求解
【详解】由可得，
令，所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
因为，所以当时，单调递减；
当时，单调递增，
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所以，即，
要使函数恰有3个零点，则需，解得，
当时，，，
所以存在，使得，
所以当或时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因为，所以，
因为
当趋向于正无穷时，指数函数的增长速率远远超过一次函数，且趋向于正无穷，则趋向于正无穷，
所以存在，使得
综上，当时，函数恰有3个零点，
故选：A
【点睛】关键点睛：这道题的关键之处是发现，故只需要存在，，则即可
6．（2023·四川德阳·统考一模）函数的大致图像为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和符号判断.
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【详解】 ，
∴ 是奇函数；
令 ，则有 ， 是增函数，
∴当 时， ，即 ；
故选：A.
7．（2022·四川达州·统考一模）曲线在点处的切线平分圆，则（    ）
A．有两个零点
B．有极大值
C．在上为增函数
D．当时，
【答案】D
【分析】根据导数几何意义确定在点处的切线方程为，由于平分圆，所以得，于是得函数，结合导数确定函数的零点，单调性，极值即可判断.
【详解】解：因为，所以，
曲线在点处的切线斜率，又，
则切线方程为：，即，
若该切线平分圆，则切线过圆心，则，解得，
所以，，
对于A，，即，所以，则有一个零点，故A不正确；
对于B，，解得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以有极小值，故B不正确；
对于C，由B可知，C不正确；
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对于D，由B可知在上单调递增，且，所以当时，，故D正确.
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练****已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导函数判断函数的单调性，画出函数图像，将有四个零点转化为的图像与有四个不同交点，分析可知，由韦达定理可得，设，，由导函数分析函数单调性，即可求出范围.
【详解】解：时，，，
在上单调递减，在上单调递增，，
时，，
在上单调递减，在上单调递增，，
画出的图像如下图，有四个零点即的图像与有四个不同交点，
由图可得，是方程，