人教高中数学专题10 圆锥曲线与向量的交汇（解析版）.docx

专题10 圆锥曲线与向量的交汇
一、考情分析
平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平面向量作为工具可以处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中.
二、解题秘籍
(一) 圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略
1.设为直线l的方向向量,若,则l斜率为k；若（m≠0）,则l斜率为；
2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:①=;②=+且+=1;③=(+)/(1+)；④∥.
3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:①=;②=(+).
4.在四边形ABCD中,若∙=0,则AB^AC;若∣+∣=∣-∣,则AB^AD;若∙=∙,则AC^BD.
5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量共线转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.
6.圆锥曲线中两直线垂直问题,通常转化为两直线的方向向量的数量积为零,这样做可避免讨论直线的斜率是否存在.
7.圆锥曲线中涉及数量积问题,通常利用数量积的坐标运算把所给条件转化为关于横（纵）坐标的表达式.
【例1】（2023届黑龙江省鸡西市鸡东县高三上学期月考）已知两点,,动点在轴的投影为,且,记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程.
(2)过点的直线与曲线在轴右侧相交于,两点,线段的垂直平分线与轴相交于点,试问
是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.
【解析】（1）设,则,,,.
因为,所以,
故的方程为.
（2）由题可知直线的斜率一定存在,且不为0,
不妨设直线的方程为,,.
联立方程组,消去整理得,
则,整理得.
,,
则线段的垂直平分线的方程为,
令,得,则,
.
则.
故是定值,该定值为.
(二) 把点共线问题转化为向量共线
此类问题通常是把点共线转化为,或点C在直线AB上.
【例2】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知椭圆的左､右顶点分別为,右焦点为F（1,0）,且椭圆C的离心率为,M,N为椭圆C上任意两点,点P的坐标为（4,t）（t≠0）,且满足.
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：M,F,N三点共线.
【解析】（1）椭圆C的右焦点为,且离心率为,
∴a=2,c=1,则b2=a2-c2=3,
∴椭圆C的方程为.
（2）由（1）知,的坐标分别为,设,
∴,,,,
∵,,
∴三点共线,三点共线,即,整理得,两边平方得,①又M,N在椭圆上,则,代入①并化简得,
又,,
∴要证M,F,N三点共线,只需证,即,只需证,整理得,
∴M,F,N三点共线.
(三) 利用向量共线求双变量的关系式
此类问题一般是给出形如的条件,确定关于的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标与纵坐标分别相等（注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等,使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一个）,把用其他变量（若点的横坐标或纵坐标）表示,再利用题中条件消去其他变量.
【例3】（2023届甘肃省张掖市高三上学期检测）椭圆的方程为,过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点,椭圆的右焦点为,已知,椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点,交轴于点,若,,求证：为定值．
【解析】（1）依题可知：,,
所以,即,
解得
又∵椭圆过点,则
联立可得,
椭圆的标准方程为．
（2）设点、,,
由题意可知,直线的斜率存在,可设直线的方程为,
联立,可得,
由于点在椭圆的内部,直线与椭圆必有两个交点,
由韦达定理可得,,
,,,
得,,
,,
．
(四) 利用向量加法的几何意义构造平行四边形
若点满足,则四边形ABCD是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.
【例4】（2023届四川省广安市岳池县高三上学期10月月考）已知椭圆经过点,左焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线与椭圆交于两点,点满足（为原点）,求四边形面积的最大值.
【解析】（1）设椭圆的焦距为,则,
又因为椭圆经过点,所以,
又
,,,
所以椭圆的方程为.
（2）因为,所以四边形为平行四边形,
当直线的斜率不存在时,显然不符合题意；
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
与