人教高中数学专题12 数列的基本运算（讲）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题12 数列的基本运算（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
2．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
3.（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1. 等差(等比)数列的定义、通项公式及求和公式是高考的基础考点与高频考点.以小题居多，属于容易题.
2. 数列求和方法中的公式法、错位相减法、裂项相消法及分组求和法是高考的高频考点，以小题或解答题形式出现，难易程度有些起伏，从趋势看，与不等式等相结合，其难度有所增大，总体属于中档题.涉及数列的通项、递推与不等式相结合的客观题有所增加.
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 等差数列、等比数列的基本运算
【核心知识】
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
(3)等差数列的求和公式：；
(4)等比数列的求和公式：
【典例分析】
典例1.（2021·北京·统考高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（    ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值．
【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，
所以.
对于，，
取数列各项为(，,
则，
所以n的最大值为11．
故选：C．
典例2.（2020·全国·统考高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（    ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此.
故选：B.
典例3.（2022春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练****已知等差数列满足，前4项和．
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列满足，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题干条件分别求出公差d和首项，再代入公式即可；
（2）由（1）求得的数列的通项公式计算和，进而得到数列的首项和公比，最后代入等比数列前n项和公式即可.
【详解】（1）设等差数列的通项公式为，
由题可知，，所以.
又，
所以.
故的通项公式为.
（2）由（1）知，，
于是等比数列的公比为，
则等比数列的通项